Дерева AVL не мають ваги?

У попередньому питанні було визначення збалансованих за вагою дерев та питання щодо червоно-чорних дерев.

Це питання - це те саме питання, але для дерев AVL .

Питання, враховуючи визначення дерев, збалансованих $\mu$ як і в іншому питанні,

Чи є такий $\mu \gt 0$ такий, що всі досить великі дерева AVL мають збалансованість $\mu$ ?

Я припускаю, що існує лише одне визначення дерев AVL, і двозначності немає.

Претензія : Ні, немає такої .$\mu$

Доведення . Ми наводимо нескінченну послідовність дерев AVL зростаючих розмірів, значення балансу ваги яких дорівнює , що суперечить твердженню.$0$

Нехай - повне дерево висотою h ; має 2 год + 1 - 1 вузли.$C_h$$h$$2^{h+1}-1$

Нехай дерево Фібоначчі висоти ч ; він має F h + 2 - 1 вузли. [ 1 , 2 , TAoCP 3 ]$S_h$$h$$F_{h+2} - 1$

Тепер нехай з T h = N ( S h , C h ) послідовність дерев, які ми стверджуємо, як зустрічний приклад.$(T_h)_{i\geq 1}$$T_h = N(S_h,C_h)$

$T_h$$h \in \mathbb{N}_+$

$\qquad \displaystyle \begin{align*} \frac{F_{h+2}}{2^{h+1} + F_{h+2} - 1} &= \frac{1}{1 + \frac{2^{h+1}}{F_{h+2}} - \frac{1}{F_{h+2}{}}} \\ &\sim \frac{F_{h+2}}{2^{h+1}} \\ &= \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{h+2} - \hat{\phi}^{h+2})}{2^{h+1}} \\ &\sim \frac{\phi^{h+2}}{\sqrt{5}\cdot 2^{h+1}} \underset{h \to \infty}{\to} 0 \end{align*}$

На цьому завершується доказ.

Позначення :

• $F_n$$n$
• $\phi \approx 1.6$$\hat{\phi} \approx -0.62$
• $f \sim g$$f$$g$$\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 1$

Nota bene : дерева Фібоначчі - це саме ті дерева AVL з найменшими вузлами для заданої висоти (або, що еквівалентно, максимальна висота для заданої кількості вузлів).

$h$$h-1$$h-2$

^{[ джерело ]}

$f(h)$$h$

$\qquad \displaystyle \begin{align*} f(1) &= 1 \\ f(2) &= 2 \\ f(h) &= f(h-1) + f(h-2) + 1 \qquad n \geq 3 \end{align*}$

$f(h) = F_{h+2} - 1$

Те ж саме доказ подано (з меншою деталізацією) у бінарних деревах пошуку обмеженого балансу Нівергелтом та Рейнгольдом (1972).