Чи є 2-SAT з XOR-відносинами NP-завершеним?

11

Мені цікаво, чи існує поліноміальний алгоритм для "2-SAT з XOR-відношеннями". І 2-SAT, і XOR-SAT знаходяться в P, але чи є їх комбінація?

Приклад введення:

2-SAT частина: (a or !b) and (b or c) and (b or d)
XOR частина: (a xor b xor c xor 1) and (b xor c xor d)

Іншими словами, вхід є наступною булевою формулою:

(a \lor \neg b) \land (b \lor c) \land (b \lor d) \land (a \oplus b \oplus \neg c) \land (b \oplus c \oplus d) .

$(a \lor \neg b) \land (b \lor c) \land (b \lor d) \land (a \oplus b \oplus \neg c) \land (b \oplus c \oplus d).$

Приклад Вихід: Задовільний: a = 1, b = 1, c = 0, d = 0.

Як кількість 2-SAT-пропозицій, так і кількість XOR-пропозицій на вході є $O(n)$ , де $n$ - кількість булевих змінних.

— Альберт Хендрікс
джерело

1

ця проблема є досить близькою, порозрядним xor векторів, щоб дорівнювати цільовому вектору , cstheory.se

— vzn

11

2-SAT-з-XOR-відношення можна довести NP-повним шляхом зменшення від 3-SAT. Будь-який пункт 3-SAT може бути переписаний у виразний вираз відносин 2-SAT-з-XOR з і як нові змінні.

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

(x_{1} \lor \bar{y}) \land (y \oplus x_{2} \oplus z) \land (\bar{z} \lor x_{3})

$(x_1 \lor \overline{y}) \land (y \oplus x_2 \oplus z) \land (\overline{z} \lor x_3)$

y

$y$

z

$z$

— Кайл Джонс
джерело

Усі відповіді здаються правильними або допомагають, але я вважав цю найелегантнішою (імхо).

— Альберт Гендрікс

1

Гарна відповідь. Можливо, варто зазначити, що простої вирівняності тут не вистачить (оскільки задовольняючі призначення виразів, що відповідають усім пунктам задовільної CNF, можуть не збігатися), але ваш переписаний вираз насправді має відповідне задоволення для кожного задовольняючого завдання первісне застереження.

— Клаус Драгер

7

Ви не вказали сутність відносин XOR, але, як і у звичайному зменшенні SAT-3SAT, ви завжди можете домовитись, що їхня спільність може бути не більше 3. Тепер ви в змозі застосувати теорему про дихотомію Шефера , яка буде скажіть, чи є ваша проблема в P або NP-повному (це єдині два варіанти). Якщо воно виявиться в P, наступним кроком може бути перегляд Allender et al. , що дозволить вам дізнатися, наскільки проста у вас проблема.

— Юваль Фільм
джерело

O (n)

$O(n)$

5

За теоремою про дихотомію Шефера це повне NP.

$\Gamma$ $R(x,y,z)$ $x \lor y$ $x \lor \neg y$ $\neg x \lor \neg y$ $x \oplus y \oplus z$ $x \oplus y \oplus \neg z$

Тепер застосуємо теорему про дихотомію Шефера в його сучасному вигляді . Перевірте кожну з шести операцій, щоб перевірити, чи є вони поліморфізмом:

$x \lor y$
$\neg x \lor \neg y$
$x \lor y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(0,0,0)$
$\neg x \lor \neg y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(1,1,0)$
$x \oplus y \oplus z$ $(0,0,1)$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(0,0,0)$
$x \lor y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(1,1,0)$ $(0,0,0)$

Звідси випливає, що ця проблема не є повною для NP, навіть якщо ви обмежуєте всі пункти XOR довжиною не більше 3.

$(x \oplus y)$ $(x \lor y) \land (\neg x \lor \neg y)$

— DW
джерело