Чому теорема Шефера не доводить, що P = NP?

Це, мабуть, дурне питання, але я просто не розумію. В іншому питанні вони придумали теорему про дихотомію Шефера . Для мене це виглядає так, що це доводить, що кожна проблема CSP знаходиться або в P, або в NP-комплекті, але не знаходиться між ними. Оскільки кожна проблема NP може бути перетворена в поліномійний час у CSP (оскільки CSP є NP-повною), чому це не доводить, що між P і NP-Complete не існує простору і так, що P = NP?

Наприклад, мої думки виглядають так: цілісна факторизація може бути переписана як проблема задоволеності, тому, використовуючи теорему Шефера, вона повинна бути або P або NP-повною, але не між ними (навіть якщо ми не можемо дізнатися, що це таке).

Інший спосіб поглянути на все питання: Чому ми не можемо використати теорему Шефера, щоб вирішити, чи є ціла множинна множина в P, або в NP?

EDIT: у відповідь на відповідь Девіда Річербі (коментар занадто довгий):

Цікаво, але я ще не повністю розумію. Визначаючи набір гамма відносин під час використання теореми Шефера, ми можемо накласти на неї обмеження. Наприклад, ми можемо обмежити використання гами лише відношеннями сутності 2 (тоді проблема полягає в P). Які обмеження ми можемо накласти на гамму?

Чому ми не можемо накласти такі обмеження, що всі екземпляри CSP (гамма) точно такі ж, як (ізоморфний?) L? Наприклад, при перекладі множинного коефіцієнта для нерівномірних чисел один з двох дільників є двійковим, представленим як xn .. x3 x2 1. Тепер я хочу, щоб це число було більше 1. Отже, я маю відношення (xn або .. або x3 або x2). Тому я кажу, що гамма може мати відношення сутності n-1. Але я не хочу, щоб це або відношення використовувалося для включення в мову інших екземплярів, ніж L, тому я ще більше наголошую, що у x2..xn у співвідношенні або не може бути заперечення. Звичайно, мені також потрібно накласти обмеження, що там використовуються лише конкретні змінні.

Чи не можна таким чином дозволити CSP (гамма) ізоморфним для цілочислової факторизації? Головне питання: які обмеження ми можемо накласти на гамму?

EDIT 2: у відповідь на відповідь Юваля Філімуса.

Я розумію вашу відповідь і здається правильною, хоча приблизно такою ж, як і відповідь Девіда. Наприклад, ми можемо зменшити факторизацію до 3-sat та потім зробити висновок, що факторизація є NP завершеною, що неправильно, оскільки 3-sat має інші випадки, які, ймовірно, не є факторизацією.

Частина, яку я не розумію, - це коли екземпляр (не) довільний. Наприклад, 2-SAT мені також здається не довільним, оскільки дозволені лише пропозиції арності 2 (хоча я мушу визнати, що доказ все-таки має місце, тому що це верхня межа, і в цьому випадку верхня межа - Р).

Можливо, кращим прикладом є повнота NP: питання, пов'язане вище. Один відповідач дає повний доказ Шефера. Але я накладаю нетривіальні обмеження на вхід (2-SAT-дозволені дозволені та xor-пропозиції, але нічого іншого). Звичайно, доказ все ще зберігається, оскільки проблеми, пов'язані з ДСП, що розглядаються у доказуванні, точно такі ж, як і в оригіналі.

Частина, яку я не розумію, це те, чому ми не можемо зробити подібне для факторизації? Звичайно, зводити її до 3-SAT немає ніякої користі, але дозвольте мені дати екземпляр CSP, який розбиває число і лише розраховує число (з 4 біт). (перейдіть до END-OF-SKIP, якщо вважаєте, що це можливо).

Екземпляр факторизації.

ВХОД:

(N =) (4 біти числа для факторизації) (M =) (4 біта мінімального значення першого дільника) $n_4n_3n_2n_1$
$m_4m_3m_2m_1$

Тепер давайте перетворимо це на екземпляр CSP

ВХОД:
одинарні домени для та для (що представляє, що задано N та M)$n_5..n_1$$m_5..m_1$

змінні з доменом {0,1}:
(D =) (перший дільник) (E =) (другий дільник)$d_4d_3d_2d_1$
$e_4e_3e_2e_1$

відносини:

$e_4 \lor e_3 \lor e_2$ (представляє E> 1)

$(d_4 \land \neg m_4) \lor (d_4=m_4 \land d_3 \land \neg m_3) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2 \land \neg m_2) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2=m_2 \land d_1 \land \neg m_1)$
(представляє D> M)

$d_1 \land e_1 = n_1$ (що представляє найменше значне розмноження бітів) (представляє наступне розмноження бітів)
$(d_1 \land e_2) \oplus (d_2 \land e_1) = n_2$
$n_3 = ... ; n_4 = ...$

ВІДКЛЮЧЕННЯ

Суть полягає в тому, що, застосовуючи теорему Шефера, ми повинні враховувати лише такі CSP . (Так само, як і для 2-SAT, ми розглядаємо лише CSP з сукупністю 2). При цьому дотримується або один із шести поліморфізмів, або його немає (збережіть деякі примхи в теорії множин). У будь-якому випадку факторизація не є NP-проміжною.

Це також можна зробити для 3-SAT. Тоді нам слід розглянути лише (використовуючи скорочення) 3-SAT екземпляри, які представляють екземпляри факторизації (що вже не є 3-SAT).

Де я помиляюся?

Коли ви переводите довільну NP проблеми  до ПСУ, ви в кінцевому підсумку з деяким набором примірників з деяким мовою обмежень (набір відносин)  . Теорема Шеффера говорить про те, що вирішення всіх екземплярів CSP ( ) або в P, або NP- незавершене. Але, якщо вам потрібно буде вирішити лише обмежений набір екземплярів (наприклад, екземпляри, які ви отримуєте, перекладаючи проблему  ), це може бути простіше. Зокрема, якщо  є NP- проміжним, то вирішення відповідних екземплярів CSP ( ) також було б NPΓ Γ L L Γ L $L$$\Gamma$$\Gamma$$L$$L$$\Gamma$-проміжний - ви можете просто перевести екземпляри назад до екземплярів  і вирішити їх там. Але вирішення класу всіх екземплярів CSP ( ) було б NP- незавершеним.$L$$\Gamma$

Теорема Шефера охоплює дуже специфічну ситуацію: вам задається скінченна множина відносин, і вас цікавить складність . Теорема Шефера дає вам алгоритм, щоб вирішити, чи не є ця проблема NP-повною чи в P. Вона не охоплює жодної іншої ситуації.C S P ( Γ $\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$

Коли ви перекладете таку проблему, як ціла множинна факторизація, на CSP, ви будете використовувати набір відносин таким чином, що є NP-повним (це, враховуючи загальну думку, що цілочисельна факторизація не в P ). Але ваші випадки не є довільними, тому теорема Шефера дає лише верхню межу складності. Можливо, ціла множинна факторизація насправді не є повною NP.C S P ( Γ $\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$