У якому сенсі набір Мандельброта є "обчислюваним"?

Набір Мандельброта - прекрасна істота з математики.

Існує маса прекрасних зображень цього набору, створених з високою точністю, тому очевидно, цей набір в деякому сенсі "обчислюваний".

Однак, що мене хвилює, це той факт, що він навіть не є рекурсивно перелічуваним - просто тому, що множина не піддається численності. Це можна було б вирішити, вимагаючи якесь кінцеве подання балів.

Крім того, хоча ми точно знаємо, що багато очок належить набору, а інші - ні, є також багато очок, про членство в наборі яких ми не знаємо. Усі образи, які ми бачили до цього часу, можуть містити безліч балів, які "до n ітерацій не обмежуються", але ці точки насправді не можуть належати до набору.

Отже, для заданої точки з кінцевою презентацією проблема "Чи належить ця точка множині?" ще не було доведено рішення, якщо я маю рацію.

Тепер, у якому сенсі (за яким визначенням) можна сказати, що множина Мандельброта є "обчислюваною"?

computability

— Земляний двигун
джерело

"Однак, що мене хвилює, це той факт, що він навіть не є рекурсивно перелічуваним - просто тому, що набір не рахується". - це, мабуть, не повинно вас стосуватись. Зрештою, тони дійсно простих наборів точок у

незліченні.

, наприклад.

R^{2}

$\mathbb R^2$

R^{2}

$\mathbb R^2$

— user2357112 підтримує Моніку

Відповіді:

Існує кілька способів визначення того, що означає обчислювальний набір Мандельброта. Одне можливе визначення - модель Блюма-Шуба – Смайла. У цій моделі реальне обчислення моделюється машиною, аналогічною машині оперативної пам'яті, доступ до реальних чисел обмежений основними арифметичними та порівняннями. Блюм і Смайл показали, що набір Мандельброта в цій моделі є незрівнянним, хоча його доповнення можна рекурсивно перерахувати, використовуючи традиційний алгоритм, який використовується для їх малювання.

Іншою моделлю є обчислювальний аналіз , в якому набір Мандельброта, ймовірно, є обчислюваним, як показав Гертлінг (обумовлений загальноприйнятою гіпотезою, гіпоболічною гіпотезою). У цій моделі обчислення набору Мандельброта означає можливість обчислити наближення до набору Мандельброта в будь-якій бажаній точності (точне визначення див. Посилання на обчислювальний аналіз).

Чому тоді комп'ютер, здається, здатний намалювати набір Мандельброта? Основна складність у тому, що показує, що працює традиційний алгоритм, полягає в тому, що важко заздалегідь сказати, скільки ітерацій виконати, перш ніж ми вирішимо, що точка належить множині. Гертлінг показує, що якщо широко розповсюджена гіпоболічна гіпотеза дотримана, то існує така розумна межа. Імовірно, програми просто чекають досить довго; або вони не чекають достатньо довго, але неправильно отримують лише невелику частину балів.

— Юваль Фільм
джерело

Я переглянув обидві моделі, але обидві для мене недостатньо хороші ... Оскільки найкраще поруч із кінцевим - це компактність, а набір Мандельброта - компактний, я думаю, що повинна бути модель, яка стверджує, що це "обчислювальний компакт" якось. Для таких наборів, як

ми можемо сказати "обчислюваний локально компактний".

R

$R$

— Земляний двигун

В основному, набір Мандельброта не обчислюється (наскільки ми знаємо). Те, що ви бачите зображення, не означає, що це обчислимо. Ці зображення обчислюються за допомогою наближення: якщо процес працює довше встановленого порогу, як евристичний, код передбачає, що він ніколи не закінчиться. Це евристика може бути помилковою, і в результаті ці зображення можуть бути не на 100% точними. Іншими словами, ці малюнки не є зображенням набору "Мандельброта"; вони наближені до набору Мандельброта.

— DW
джерело

Думаю, те, що ми обчислюємо лише наближення, не є проблемою. Питання буде більше, чи збігаються ці наближення до деякої межі, що є набором Мандельброта, якщо збільшити час обчислення. Я тебе неправильно розумію?

— бабу

@babou, чому б це було проблемою? Я можу дати вам алгоритм, який є наближенням до проблеми зупинки, тобто він зближується в межах правильного рішення проблеми зупинки - але цього недостатньо, щоб ми вважали проблему зупинки вичислимою. Я не думаю, що ти мене зрозумів неправильно.

— DW

Мені треба десь плутати. У мене склалося враження, що нескінченні об'єкти можна вважати обчислювальними, якщо вони є межею нескінченної послідовності обчислюваних, з певними специфічними умовами того, як має вести себе конвергенція до межі. Здається, у моєму розумінні є дірка.

— бабу

@babou, гаразд. Я не сумніваюся у вашій пам’яті / розумінні. Я не чув про таке поняття обчислюваності, але я вам вірю.

— DW

По-перше, ви завжди повинні сумніватися в моїй пам'яті / розумінні. Багато з того, що тут обговорюється, не стосується моєї (колишньої) експертизи. Насправді моє розуміння покладається на те, що я мало читаю на обчислюваному реальному, який я розумів як обчислювальний з будь-якою необхідною точністю рівномірно. Потім з'являється моє старше семантичне розуміння нескінченних структур як меж кінцевих структур у частково впорядкованих множинах, хоча я не впевнений, як вони пов'язані між собою.

— бабу