Регулярність одинарних мов із довжиною слова сума двох респ. три квадрати

9

Я думаю про одинарні мови , де встановлюється з усіх слів, довжина яких є сумою квадратів. Формально: Неважко показати, що не є регулярним (наприклад, з Pumping-Lemma). Далі ми знаємо, що кожне натуральне число - це сума чотирьох квадратів, що означає, що для всі мови є регулярними, оскільки . $L_k$ $L_k$ $k$

L_{k} = {a^{n} ∣ n = \sum_{i = 1}^{k} {n_{i}}^{2}, n_{i} \in N_{0} (1 \leq i \leq k)}

$L_k=\{a^n\mid n=\sum_{i=1}^k {n_i}^2,\;\;n_i\in\mathbb{N_0}\;(1\le i\le k)\}$

L_{1} = {a^{n^{2}} ∣ n \in N_{0}}

$L_1=\{a^{n^2}\mid n\in\mathbb{N_0}\}$

k \geq 4

$k\ge 4$

L_{k}

$L_k$

L_{k} = L (a^{*})

$L_k=L(a^*)$

Тепер мене цікавлять випадки і : $k=2$ $k=3$

$L_2=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2}\mid n_1,n_2\in\mathbb{N_0}\}$ , $L_3=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}\mid n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N_0}\}$ .

На жаль, я не в змозі показати, чи є ці мови регулярними чи ні (навіть за допомогою триквадратичної теореми Лежандра або теореми Ферма про суми двох квадратів ).

Я майже впевнений, що принаймні $L_2$ не є регулярним, але нещасливе мислення не є доказом. Будь-яка допомога?

formal-languages regular-languages

— Денні
джерело

Можливо, наші довідкові запитання ( звичайні , не регулярні ) мають корисні вказівки.

— Рафаель

8

Почнемо з . Відомо, що верхня щільність цілих чисел, яка є сумою двох квадратів, дорівнює 0. Якби були правильними, то це було б з часом періодично, і так, оскільки його верхня щільність дорівнює 0, кінцева. Але ми знаємо, що у довільно великі цілі числа , так що не може бути регулярним. $L_2$ $L_2$ $L_2$ $L_2$

Щодо , розглянемо слова . Я стверджую, що для слова нееквівалентні. Дійсно, а . Критерій Міхілла-Нерода показує, що є неправильним. $L_3$ $w_k = 1^{4^k 7}$ $k < \ell$ $w_k,w_\ell$ $w_k 1^{4^k 8} \notin L_3$ $w_\ell 1^{4^k 7} \in L_3$ $L_3$

— Юваль Фільм
джерело

5

Припустимо, регулярний. Тоді так є його доповнення, яке за триквадральною теоремою Легенда є . За теоремою Париха це означає, що множина довжин є напівлінійною, тобто кінцевим об'єднанням лінійних множин . $L_3$ $\{a^n\ |\ n=4^k(8l+7), k,l\in\mathbb{N}\}$ $S=\{4^k(8l+7)\ |\ k,l\in\mathbb{N}\}$ $\bigcup_{i=1}^NS_i$ $S_i=\{a_i + rb_i\ |\ r\in\mathbb{N}\}$

Розглянемо два елементи з , і нехай . Якщо обидва в одному , то це так само або (залежно від того, чи ). Але $s_1 = 4^{k_1}(8l_1+7), s_2 = 4^{k_2}(8l_2+7)\in S$ $k_1>k_2$ $r:=k_1-k_2$ $s_1,s_2$ $S_i$ $2s_1-s_2$ $2s_2-s_1$ $s_1<s_2$ $s_1>s_2$

$2(4^{k_1}(8l_1+7))-(4^{k_2}(8l_2+7)) = 4^{k_2}(8l'-7)$ , де , $l'=4^{r-1}(8l_1+7)-l_2$
$2(4^{k_2}(8l_2+7))-(4^{k_1}(8l_1+7)) = 4^{k_2}(8l'-7*4^r+14)$ , де . $l'=2l_2-4^rl_1$

Жоден з них не є в , тому повинні були бути в різних членах спілки. Але це неможливо, оскільки - кінцевий союз, і існує нескінченно багато різних . $S$ $s_1,s_2$ $S$ $k$

Тому не є регулярним. $L_3$

— Клаус Драгер
джерело