Чи може мінімізація прорізуватися легше, ніж мережевий потік?

Завдяки теоремі про максимальний потік min-cut ми знаємо, що ми можемо використовувати будь-який алгоритм для обчислення максимального потоку в мережевому графіку для обчислення a -min-cut. Тому складність обчислення мінімальних -різів не більше, ніж складність обчислення максимального -потоку. $(s,t)$ $(s,t)$ $(s,t)$

Чи може бути менше? Чи може бути алгоритм для обчислення мінімальної -різу, який є швидшим, ніж будь-який алгоритм максимального потоку? $(s,t)$

Я спробував знайти скорочення, щоб зменшити ) -max-потік проблеми до -min-cut проблеми, але я не зміг її знайти. Моя перша думка полягала у використанні алгоритму ділення та перемоги: спочатку знайдіть міні-розріз, який розділяє графік на дві частини; тепер рекурсивно знайдіть максимальний потік для лівої частини та максимальний потік для правої частини та з'єднайте їх разом з усіма краями, що перетинають розріз. Це дійсно спрацювало б для створення максимального потоку, але його найгірший час роботи може бути в розмірі разів більшим, ніж час роботи алгоритму мінімуму зрізу. Чи краще зменшення? $(s,t$ $(s,t)$ $O(|V|)$

Я усвідомлюю, що теорема про максимальний потік максимального потоку показує, що складність обчислення значення максимального потоку така ж, як і складність обчислення потужності мінімального розрізу, але про це я не прошу. Я запитую про проблему пошуку максимального потоку та знаходження міні-розрізу (явно).

Це дуже тісно пов'язане з обчисленням максимального потоку від мінімального скорочення , за винятком: (1) Я готовий дозволити скорочення Кука (скорочення Тюрінга), а не лише скорочення Карпа (багато-одне скорочення) та (2) можливо, з огляду на ми можемо знайти деякий графік такий, що мінімальний зріз полегшує обчислення максимального потоку , що є щось поза межами цього іншого питання. $G$ $G'$ $G'$ $G$

— DW
джерело

@AshkanKzme, я не слідкую за тобою; чи можете ви докладно? Як я зазначаю в 4-му параграфі питання, теорема про максимальний потік мінімуму різання показує, що значення макс-потоку дорівнює ємності мінімального розрізу. Я підозрюю, що це ви думаєте. Однак, знаючи значення max-потоку, вам не підкаже сам макс-потік (наприклад, скільки відправити на кожен конкретний край). Це запитання задає складність обчислення самого потоку max, порівняно з обчисленням самого міні-розрізу. Моє запитання саме так, як сказано у другому пункті запитання.

— DW

@AshkanKzme, Ні, я не зробив неправильного припущення. Ви неявно припускаєте, що Форд-Фулкерсон - це найшвидший алгоритм пошуку міні-розрізу ... але, наскільки я знаю, ніхто ніколи цього не довів, і ми не знаємо, правильно це чи ні. Мені це здається, що ти робиш стандартну помилку новичка за допомогою нижньої межі доказів: "Я не бачу жодного способу швидше вирішити цю проблему, тому це має бути неможливо". (PS Ти розповідаєш мені про стандартні матеріали з підручника про максимальний потік мінімуму. Я ціную твою спробу допомогти, але я з цим уже знайомий ...)

— DW

Що стосується вашої заяви "Я думаю, що можна довести, що якщо у вас є лише міні-розріз, ви можете отримати максимальний потік", ну, я закликаю вас написати відповідь із підтвердженням цього - адже це в основному те, що запитання моє. Я ніколи не бачив доказів цього, але якщо у вас є, я сподіваюся, що ви напишете це!

— DW

@DW Я думаю, зараз я ставлю це питання трохи краще. Я думаю, що мене постраждало від того, що ти скорочуєш поліномічне зменшення твердження. Чи не потрібно вам постійне зменшення твердження, щоб довести

, хоча навіть доведення, що таке зменшення неможливе, не спростує це?

f (n) = Θ (g (n))

$f(n) = \Theta(g(n))$

— Томас Босман

@ThomasBosman, так, це правильно. [Вибачте за те, що вас заплутали. Зниження, яке я дав у запитанні, доводить, що

, що є дуже слабкою нижньою межею. Я сподіваюся, що може бути скорочення, яке доводить, що

, але я не знаю, як побудувати таке.]

f (n) = Ω (g (n) / n)

$f(n) = \Omega(g(n)/n)$

f (n) = Ω (g (n))

$f(n) = \Omega(g(n))$

— DW

-1

Ось можливий підхід:

$S$ $t$ $V\setminus S$ $t$ $f$ $S-t$ $A$ $i$ $j$ $i$ $j$ $b$ $Af = b$ $f$ $|V|^3$

$|E|$ $|V|$

$Af =b$ $|V|^3$

— Томас Босман
джерело

f

$f$

| V |

$|V|$

| E |

$|E|$

| E | > | V |

$|E|>|V|$

| V |

$|V|$

b

$b$

f

$f$

A f = b

$Af=b$

Лайно це правильно. Ви можете додати обмеження (верхнє та нижнє), яке, як відомо, має рішення, але тоді у вас є | V | +2 | E | рядки, щоб це було повільніше, ніж просто обчислення максимального потоку безпосередньо.

— Томас Босман

Інша проблема полягає в тому, що обмеження ємності - це нерівності (а не рівності), тому ви не можете використовувати усунення Гаусса: вам потрібно буде використовувати лінійне програмування, яке, як ви кажете, не може бути швидшим, ніж просто обчислення макс. витрата безпосередньо.

— DW