Теоретично складність складної перевірки значення

Функція підрахунку простих чисел , зменшена , визначається як кількість простих чисел, менших або рівних x .$\pi(x)$$x$

Ми можемо визначити задачу рішення з наступним чином:$\pi(x)$

Давши два числа і n , записані у двійковій формі, вирішіть, чи π ( x ) = n .$x$$n$$\pi(x) = n$

Ми з другом говорили про цю проблему раніше сьогодні. Для цієї проблеми існує алгоритм псевдополіноміального часу - просто порахуйте до , використовуючи пробний поділ на кожному кроці, щоб побачити, скільки чисел є простими, і перевірте, чи дорівнює це n . Проблема також полягає в PSPACE, оскільки алгоритм, який я тільки що описав, може бути реалізований для використання лише поліноміального допоміжного простору.$x$$n$

Однак у мене виникають проблеми з тим, як знайти цю проблему в нижчий клас складності. Я не можу зрозуміти, як створити перевірку поліноміального часу для проблеми, тому я не впевнений, чи є вона в NP, і я не можу придумати спосіб ввійти в поліноміальну ієрархію взагалі.

Який найбільш відповідний клас складності для цієї проблеми?

Спасибі!

Це дуже відкрита проблема. Я змалюю кілька класів, до яких проблема могла б "природно" вписатися.

$\{(x,n)|\pi(x)\leq n\}$$\{(x,n)|\pi(x)\geq n\}$$\{(x,n)|\pi(x)\leq n\}$$K$$\{(x,n)|\pi(x)\geq n\}$$coK$$K$$coK$

$\pi(X)$$\#P$$\#P\subseteq FPSPACE$$q \leq x$$q$

$\#P$$PP$$\{(x,n)|\pi(x)\leq n\}$$\{(x,n)|\pi(x)\geq n\}$$PP$ (зробивши кілька гри в вищезгадану ТМ, щоб збалансувати кількість прийнятих шляхів).

$_=$ $\hspace{-0.06 in}\text{,}$

$\;\;\;$$\big[$m$\: 0\leq m < 2^{\lceil \hspace{.02 in}\log_{\hspace{.02 in}2}\hspace{-0.02 in}(x+1)\rceil}\big]$b
$\;\;\;$якщо x < mпотім відхилити
$\;\;\;$якщо b=1тоді:
$\;\;\;\;\;$якщо m < nтоді прийміть інше відхилити
$\;\;\;$ ще:
$\;\;\;\;\;$якщо m є простим, тоді прийміть інше відхилити

.


Зокрема, ваша проблема полягає також у ПП, оскільки ПП закривається в результаті зменшення таблиці істинності .

На практиці ви можете отримати відповідь швидше або повільніше :-(

Існують досить хороші наближення для π (x). Отже, ви обчислюєте таке наближення, і якщо воно занадто далеко, ви знаєте, що π (x) ≠ n. Наприклад, якщо n ≥ x, то я знаю, що π (x) ≠ n, не рахуючи нічого.

Існує швидкий алгоритм, який визначає, чи π (x) парне чи непарне, працює в O (x ^ (1/2)). Ви можете запустити цей алгоритм, і він може виявити, що парність n неправильна, і ви закінчили. Він має п'ятдесят шансів, якщо n - випадкове ціле число, близьке до π (x).

Крім цього, я не знаю жодного методу, який швидше, ніж обчислення π (x). Що дуже незручно - якщо я записую програму, яка повинна обчислювати π (10 ^ 25), і отримую результат, який явно не є помилковим, то немає можливості перевірити, чи мій результат правильний, крім повторення розрахунок. І ви не можете просто повторити обчислення за допомогою моєї програми, вам потрібно написати іншу програму, інакше ви не виявите, чи є в моїй програмі помилки, які змушують її обчислювати трохи іншу функцію, ніж π (x).

π (x) можна обчислити досить легко приблизно в O (n ^ (2/3)), і швидше з деякою дійсно глибокою математикою.