Коли поєднання двох регулярних мов однозначне?

16

Зазначені мови і , скажімо , що їх конкатенація є однозначною , якщо для всіх слів , існує рівно один розкладання з і , і неоднозначному інакше. (Я не знаю, чи є для цього властивості встановлений термін - важко шукати!) Як тривіальний приклад, об'єднання з собою неоднозначне ( ), але конкатенація сама по собі однозначна. $A$ $B$ $AB$ $w \in AB$ $w = ab$ $a \in A$ $b \in B$ $\{\varepsilon, \mathrm{a}\}$ $w = \mathrm{a} = \varepsilon \mathrm{a} = \mathrm{a} \varepsilon$ $\{\mathrm{a}\}$

Чи існує алгоритм для визначення того, чи є об'єднання двох регулярних мов однозначним?

— rstern
джерело

1

Га, це абсолютно проблема першокурсників CS, чи не так? Чесно кажучи, я не дуже пробував; Я сподівався, що десь у літературі є створений алгоритм для цього, і мені не доведеться робити винахід колеса. Я пишу тут програмне забезпечення; Я взяв лише пару курсів CS (кілька років тому), тож я в основному починаю з Вікіпедії. Я знаю, що нікому не подобається хтось, хто не хоче працювати над їхньою відповіддю, тож якщо є підручник чи папір або щось таке, на що ти міг би вказати мені, а не просто вручити мені алгоритм, це було б корисно! Спасибі!

— rstern

Я додав це як коментар, тому що це порівняно поза темою, але, можливо, може привести вас до допомоги. Консорціум Unicode має декілька процесів для визначення спільності між мовами. Я прочитав дуже інформативне посилання на їхньому сайті, але в житті мені не вдалося знайти сьогодні, щоб зробити відповідь натомість. Якщо у вас є час , щоб дослідити це тут їх FAQ Сторінка unicode.org/faq

— htm11h

10

Підказка: Дано DFA для і , побудуйте NFA, який приймає слова в мають принаймні два різних розкладання. NFA відслідковує дві копії стандартної NFA для (утвореної приєднанням DFA для і з переходами), гарантуючи, що перехід від до відбувається в двох різних точках. $A$ $B$ $AB$ $AB$ $A$ $B$ $\epsilon$ $A$ $B$

— Юваль Фільм
джерело

Дякую за підказку! Отже, якщо я розумію, я можу побудувати NFA для неоднозначних слів у

а потім перевірити цей автомат на порожнечу. Здається, що складна частина "гарантує, що перехід від

до

відбувається в двох різних точках". Я не впевнений, як це зробити, окрім взяття перехресного продукту (?) Двох

DFA та видалення всіх станів (

-термінал,

-термінал) - я махаю руками, я переживаю, що перехід від

NFA до

DFA мав би бути ідеєю

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A B

$AB$

A

$A$

A

$A$

A B

$AB$

A B

$AB$

A

$A$ -термінальний. Звучить, гм, хоча неефективно; чи відомий алгоритм, придатний для програмного забезпечення?

— rstern

Так, це звучить не надто ефективно, хоча завжди є можливість зробити це розумним чином. Мені невідомий якийсь конкретний алгоритм цієї проблеми, але один може існувати.

— Yuval Filmus

7

Оновлено (завдяки Ювалу Філімусу).

З огляду на дві мови і з , нехай $X$ $Y$ $A^*$ я стверджую, щооднозначний тоді і тільки тоді, коли мовапорожня.

\begin{aligned} X^{- 1} Y & = {u \in A^{*} ∣ there exists x \in X such that x u \in Y} \\ Y X^{- 1} & = {u \in A^{*} ∣ there exists x \in X such that u x \in Y} \end{aligned}

$\begin{align} X^{-1}Y &= \{u \in A^* \mid \text{there exists $x \in X$ such that $xu \in Y$} \} \\ YX^{-1} &= \{u \in A^* \mid \text{there exists $x \in X$ such that $ux \in Y$} \} \end{align}$

X Y

$XY$

X^{- 1} X \cap Y Y^{- 1} \cap A^{+}

$X^{-1}X \cap YY^{-1} \cap A^+$

Доказ . Припустимо, що неоднозначний. Тоді існує слово , який має два розкладання над , скажімо , , де і . Не втрачаючи загальності, можна вважати, що є префіксом , тобто $XY$ $u$ $XY$ $u = x_1y_2 = x_2y_1$ $x_1, x_2 \in X$ $y_1, y_2 \in Y$ $x_1$ $x_2$ для деякого . Звідси випливає, що , звідки . Таким чином . $x_2 = x_1z$ $z \in A^+$ $u = x_1y_2 = x_1zy_1$ $y_2 = zy_1$ $z \in X^{-1}X \cap YY^{-1}$

Припустимо тепер, що містить якесь непорожнє слово . Тоді існують і такі, що і . Звідси випливає, що $X^{-1}X \cap YY^{-1}$ $z$ $x_1, x_2 \in X$ $y_1, y_2 \in Y$ $x_2 = x_1z$ $y_2 = zy_1$ а значить, добуток неоднозначний. $x_2y_1 = x_1zy_1 = x_1y_2$ $XY$

Якщо і регулярні, то обидва і є регулярними, і, таким чином, також є регулярними (див. Відповідь Юваля на автомат, що приймає цю мову). $X$ $Y$ $X^{-1}X$ $YY^{-1}$ $X^{-1}X \cap YY^{-1}$

— Ж.-Є. Шпилька
джерело

Що робити, якщо

- це порожнє слово?

z

$z$

— Yuval Filmus

Ооопс. Я оновлюю.

— Ж.-Є.