Операція зірки Kleene на порожній мові

У моїй текстовій книзі зазначається, що: де порожня мова. $\emptyset^*=\{\epsilon\}$ $\emptyset$

Однак ми знаємо, що , де - будь-яка мова. $L \cdot \emptyset = \emptyset$ $L$

Я не в змозі інтуїтивно зрозуміти це поняття, оскільки операція зірки Клейна вказує на те, що . $\emptyset^*=\emptyset^0 \cup \emptyset^1 \cup \emptyset^2 \cup \cdots$

То чому не дорівнює ? $\emptyset^*$ $\emptyset$

formal-languages kleene-star

— Сагник
джерело

Дивіться цю відповідь . В основному, для будь-якого не порожнього множини

для послідовності формули

. Це поширюється на випадок, коли

як більш природне продовження. Це звичайний вибір у півкільцях. Решта випливає з визначення зірки Клейна.

W

$W$

W^{0} = \emptyset

$W^0=\emptyset$

W^{x} W^{y} = W^{x + y}

$W^xW^y=W^{x+y}$

W = \emptyset

$W=\emptyset$

— бабу

Однак для цифр

залишається невизначеним, здебільшого через проблеми, пов'язані з безперервністю, наскільки я пам'ятаю, хоча часто може бути зручно визначити його рівним

. Дивіться

0^{0}

$0^0$

1

$1$

0^{0}

$0^0$

— babou

Просто тому, що

для всіх за визначенням.

ε \in L^{0} = {ε}

$\varepsilon \in L^0 = \{\varepsilon\}$ $L$

— Рафаель

@Raphael Так. Ви можете так сказати. Але це довільно, afaik, коли

. Я, мабуть, мушу написати свою відповідь інакше. Я надто намагаюся пояснити,.

L = \emptyset

$L=\emptyset$

— бабу

@babou Зрештою, кожне визначення є довільним. Деякі визначення корисні, інші - ні. Імхо, намагаючись знайти інтуїцію у визначеннях як базових, оскільки це рідко є корисним, а іноді шкідливим.

— Рафаель

Відповіді:

Якщо ви тепер розглядаєте повноваження мови ви маєте Якщо ви хочете, щоб це було узгоджено над , тобто невід'ємними цілими числами, ви повинні визначити . Якби ви вважали, що це ви мали б включаючи, серед іншого, для $W$ $W^xW^y=W^{x+y}$ $\mathbb N_0$ $W^0=\{\epsilon\}$ $\emptyset$ $W^x=W^{x+0}=W^xW^0=W^x\emptyset=\emptyset$ . Таким чином, ми мали б $x=1$ для будь-якого $W^1=W=\emptyset$ $W$ . Таким чином, це очевидно було б невідповідним. Аналогічна непослідовність виникає для будь-якого іншого вибору, ніж , що є тотожністю для конкатенації мови. $\{\epsilon\}$

Отже, єдиним послідовним послідовним визначенням для не порожнього множини є . $W^0$ $W$ $W^0=\{\epsilon\}$

Тоді зручно поширити визначення на випадок, коли як . $W=\emptyset$ $\emptyset^0=\{\epsilon\}$

Це просто послідовне та зручне визначення, яке часто приймається півкільцями, але його неможливо довести, на відміну від випадку, коли коли немає іншого послідовного визначення. $W\neq\emptyset$

Однак інші визначення слід давати послідовно, з чого випливає це

\begin{aligned} \emptyset^{*} & = \emptyset^{0} \cup \emptyset^{1} \cup \emptyset^{2} \cup \dots \\ = {ϵ} \cup \emptyset \cup \emptyset \cup \dots \\ = {ϵ} \end{aligned}

$\begin{align} \emptyset^*&=\emptyset^0\cup\emptyset^1\cup\emptyset^2\cup\ldots \\ &=\{\epsilon\}\cup\emptyset\cup\emptyset\cup\ldots\\ &=\{\epsilon\} \end{align}$

Тема обговорюється на багатьох веб-сторінках. У випадку півкільця чисел (недостатня точність є навмисною), це довго обговорюється на цій сторінці: Нуль до нульової потужності - Є ? $0^0=1$ .

Півкільця мов описано у цій відповіді .

— бабу
джерело

Ця відповідь очистила всі мої сумніви. І посилання були чудовими.

— Сагник

Конкатенація нульових слів з є пусте слово , так . Більш загально, для мови зірка Клейна складається з усієї конкатенації будь-якої кількості слів з , будь-якої кількості, включаючи нульові слова . $\emptyset$ $\epsilon$ $\epsilon \in \emptyset^*$ $L$ $L^*$ $L$

— Юваль Фільм
джерело

Я шукав більш математичне пояснення, оскільки мені не вдалося зрозуміти поняття "конкатенація нульових слів". Однак, прочитавши відповідь @ babou і цю відповідь, усі мої сумніви усунулися. Дякую.

— Сагник

"... для мови L зірка Клінова L * складається з усієї конкатенації будь-якої кількості слів з L, будь-якої кількості, включаючи нульові слова" Тут, як нульова кількість слів означає епілісон? epsilon - це слово, тож як можна сказати, що нульова кількість слів включає епсилон? Виправте мене, будь ласка.

— Palak Jain

Сполучення нульових слів є нейтральним елементом конкатенації, що є порожнім словом. Таким же чином сума нульових елементів дорівнює нулю, добуток нульових елементів - це одне, об'єднання нульових множин - це порожній набір тощо.

— Yuval Filmus