Деякі питання паралельних обчислень та класу NC

14

У мене є ряд споріднених питань щодо цих двох тем.

По- перше, більшість текстів складності тільки замазувати клас . Чи є хороший ресурс, який більш глибоко висвітлює дослідження? Наприклад, щось, що обговорює всі мої запитання нижче. Крім того, я припускаю, що все ще бачить неабияку кількість досліджень через зв’язок з паралелізацією, але я можу помилитися. Розділ у зоопарку складності не дуже допомагає. $\mathbb{NC}$ $\mathbb{NC}$

По-друге, обчислення над напівгрупою знаходиться в якщо вважати, що операція напівгрупи займає постійний час. Але що робити, якщо операція не займає постійного часу, як це має місце для необмежених цілих чисел? Чи є відомі -повні проблеми? $\mathbb{NC}^1$ $\mathbb{NC}^i$

По-третє, оскільки , чи існує алгоритм перетворення будь-якого алгоритму журналу в паралельну версію? $\mathbb{L} \subseteq \mathbb{NC}^2$

В- четверте, це звучить , як і більшість людей вважають , що таким же чином , що . Яка за цим інтуїція? $\mathbb{NC} \ne \mathbb{P}$ $\mathbb{P} \ne \mathbb{NP}$

По-п’яте, кожен текст, який я прочитав, згадує клас але не містить прикладів проблем, які він містить. Чи є? $\mathbb{RNC}$

Нарешті, у цій відповіді згадуються проблеми в із підлінійним паралельним часом виконання. Наведіть кілька прикладів цих проблем? Чи існують інші класи складності, які містять паралельні алгоритми, про які, як відомо, немає ? $\mathbb{P}$ $\mathbb{NC}$

— Майк Ізбіцький
джерело

1

Крім того , зверніть увагу , цей же питання.

— Ніколас Манкузо

9

По-третє, оскільки , чи існує алгоритм перетворення будь-якого алгоритму журналу в паралельну версію? $\sf{L} \subseteq \sf{NC}^2$

Можна показати (підручник «Арора та Барак»), задавши -час TM , що забуваючий TM (тобто ТМ, рух голови якого не залежить від його входу ) може побудувати схему для обчислення де . $t(n)$ $M$ $M'$ $x$ $C_n$ $M(x)$ $|x| = n$

Ескіз доказів є уздовж ліній, що мають імітувати та визначають "знімки" його стану (тобто положення голови, символи на головах) на кожному кроці (придумайте журнал обчислень). Кожен крок може бути обчислений з та стану . Оскільки кожен знімок включає лише рядок постійного розміру і існує лише постійне кількість рядків такого розміру, знімок на може бути обчислений за допомогою контуру постійного розміру. $M'$ $M$ $t_i$ $t_i$ $x$ $t_{i-1}$ $t_i$

Якщо скласти схеми постійного розміру для кожного нас є схема, яка обчислює . Використовуючи цей факт, поряд із обмеженням мови в ми бачимо, що наша схема за визначенням є логіною простору журналу , де однаковість просто означає, що наші схеми в нашій сім'ї схем обчислюють всі мають однаковий алгоритм. Не на замовлення алгоритм для кожної схеми, що працює на вхідному розмірі . $t_i$ $M(x)$ $M$ $\sf{L}$ $C_n$ $\{C_n\}$ $M(x)$ $n$

Знову ж таки, з визначення рівномірності ми бачимо, що схеми, що вирішують будь-яку мову в повинні мати функції обчислити в Сімейство ланцюгів має максимум $\sf{L}$ $\text{size}(n)$ $O(\log n).$ $\sf{AC}^1$ $O(\log n)$ глибини.

Нарешті можна показати, що $\sf{AC}^1 \subseteq \sf{NC}^2$ дає відношення, про яке йдеться.

По-четверте, звучить так, як більшість людей припускає, що так само, як $\sf{NC} \neq \sf{P}$ $\sf{P} \neq \sf{NP}$ . Яка за цим інтуїція?

Перш ніж піти далі, давайте визначимо, що таке $\sf{P}$ означає -комплектність.

Мова $L$ є -повною, якщо і кожна мова в є простором журналу, зведеним до неї. Крім того, якщо є -комплектним, то істинно наступне $\sf{P}$ $L \in \sf{P}$ $\sf{P}$ $L$ $\sf{P}$

$L \in \sf{NC} \iff \sf{P} = \sf{NC}$
$L \in \sf{L} \iff \sf{P} = \sf{L}$

Тепер ми вважаємо класом мов, який ефективно вирішує паралельний комп'ютер (наша схема). У є деякі проблеми $\sf{NC}$ $\sf{P}$ які, здається, чинять опір будь-якій спробі паралелізації (наприклад, лінійне програмування та проблема значення ланцюга). Тобто, певні проблеми потребують поетапного обчислення.

Наприклад, проблема значення ланцюга визначається як:

Дано схему , вхід $C$ і затвор , що таке вихід на ? $x$ $g \in C$ $g$ $C(x)$

Ми не знаємо, як обчислити це краще, ніж обчислити всі ворота що знаходяться перед . З огляду на те, що деякі з них можуть бути обчислені паралельно, наприклад, якщо всі вони відбуваються на певному етапі , але ми не знаємо, як обчислити висновок воріт у кроці часу та крок для очевидних труднощів що ворота при вимагають виходу воріт при $g'$ $g$ $t_i$ $t_i$ $t_{i+1}$ $t_{i+1}$ $t_i$ !

Це інтуїція за . $\sf{NC} \neq \sf{P}$

Обмеження паралельних обчислень - це книга про -комплектність у подібній житці книги незавершеності Garey & Johnson . $\sf{P}$ $\sf{NP}$

— Ніколас Манкузо
джерело

Дякую за 2 посилання та часткову відповідь. Книга «Обмеження паралельних обчислень» робить кращу роботу, ніж інші книги, які я переглянув, але все ще відносно стара і не настільки ретельна, як хотілося б.

— Майк Ізбіцький

3

По-п’яте, кожен текст, який я прочитав, згадує клас RNC, але не містить прикладів проблем, які він містить. Чи є?

У статті "Збігання так само просто, як і матрична інверсія" Мулмулі, Вазірані та Вазірані є кілька прикладів проблем у класі . Основний - це знайти максимальну відповідність, потім вони зводять інші проблеми до цієї. $\mathbb{RNC}^2$

— Майк Ізбіцький
джерело