Чи є зайнятий бобром найвідоміша функція, відома людині?

24

У мене просто було це цікаве запитання. Яка найшвидше зростаюча функція відома людині? Це зайнятий бобр ?

Ми знаємо такі функції, як $x^2$ , але ця функція зростає повільніше, ніж $2^x$ , що, в свою чергу, зростає повільніше, ніж $x!$ , який у свою чергу росте повільніше, ніж $x^x$ . Потім ми можемо комбінувати функції, щоб мати $(x^x)!$ що росте швидше, ніж $x^x$ тощо.

Тоді ми доходимо до рекурсивних функцій, таких як функція Ackermann $A(x,x)$ яка росте набагато швидше, ніж $(x^x)!$ . Тоді люди хоч і зайняті функцією бобра $B(x)$ яка росте навіть швидше, ніж функція Акермана.

На даний момент я не чув жодної іншої функції, яка зростає швидше, ніж зайнятий бобр. Чи означає це, що немає інших функцій, які могли б зрости швидше, ніж зайнятий бобр? (Окрім фабрики $B(x)$ і подібних $A(B(x), B(x))$ тощо)

computability

— бодацидо
джерело

25

Зайнятий бобер ^ 2 росте швидше

— artistoex

2

@vzn Чому зростання має сенс лише для обчислюваних функцій? Асимптотичне зростання - це математичне поняття, яке взагалі не пов'язане з обчислюваністю.

— Рафаель

8

@vzn для ВВ темп зростання передбачає нездатність. але незмінність не означає високих темпів зростання.

— Сашо Ніколов

6

Привіт @vzn. Функція

така, що

якщо

-та машина Тюрінга зупиняється, а

іншому випадку є незручною, але росте повільніше, ніж функція Акермана. З іншого боку, легко довести, що для деякої фіксованої постійної

, для всіх

, BB

Акерман

. Якби це було не так, то ви могли б вирішити цю проблему , зупиняючи, запустивши машину Тьюринга

з довжиною опису

f

$f$

f (n) = 1

$f(n) = 1$

n

$n$

f (n) = 0

$f(n) = 0$

c

$c$

n > c

$n > c$

(n) >

$(n) >$

(n)

$(n)$

T

$T$

лише длякроківAckerman

і бачити, чи зупинилося раніше, чи ні.

n

$n$

(n)

$(n)$

— Аарон

4

@vzn, можливо, у вас є інша ідея "росте швидше" .. що я (а я вважаю інших) маю на увазі частковий порядок, заданий

.

f = ω (g)

$f = \omega(g)$

— Сашо Ніколов

49

Функція зайнятого бобра зростає швидше, ніж будь-яка обчислювана функція . Однак це може бути обчислено машиною Тюрінга, яка отримала доступ до оракула для вирішення проблеми зупинки. Потім можна визначити функцію зайнятого бобра «другого порядку», яка зростає швидше, ніж будь-яка функція, яку може обчислити навіть будь-яка машина Тьюрінга з оракулом для проблеми зупинки. Ви можете продовжувати робити це назавжди, будуючи ієрархію все швидше зростаючих зайнятих функцій бобра.

Дивіться чудовий нарис Скотта Ааронсона на цю тему, хто може назвати більшу кількість? .

— Аарон
джерело

Чи є у вас ресурс / міркування, чому Oracle TM для HALT_TM може вирішити зайнятого бобра?

— Райан

1

Райан: Вирішення проблеми зупинки (обчислено) еквівалентно знанню зайнятого Бівера. 1) Чи program[length=n]зупиняється? Моделюйте його для BusyBeaver(n)кроків. 2) Що таке BusyBeaver(n)? Для кожної програми довжиною <n відкиньте її, якщо вона зупиняється, і візьміть максимальний бал серед інших.

— ninjagecko

@ninjagecko ви маєте на увазі не зупинки

— PyRulez

35

Не існує такого поняття, як "функція, що швидко зростає". Насправді навіть немає жодної послідовності функцій, що швидко зростають. Це вже показав Хаусдорф. дві функції , скажімо, що росте швидше, ніж якщо $f,g\colon \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ $g$ $f$ З огляду на функцію, наступна функціязростає швидше, ніж

lim_{н \to \infty} \frac{г (н)}{f (н)} = \infty .

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{g(n)}{f(n)} = \infty.$

f

$f$

g

$g$

f

$f$ :

З огляду на послідовність функцій

, наступна функція

зростає швидше всіх:

г (н) = н f (н) .

$g(n) = nf(n).$

f_{n}

$f_n$

g

$g$

g (n) = n max_{m \leq n} f_{m} (n) .

$g(n) = n \max_{m \leq n} f_m(n).$ Природне запитання - чи існує "шкала" швидко зростаючих функцій. Це добре впорядкований набір функцій

який є "кофінальним", тобто, враховуючи будь-яку функцію

, існує швидше зростаюча функція

. (Замість добре впорядкованого набору ми можемо рівнозначно говорити про ланцюжок, тобто будь-які дві функції в наборі повинні бути порівнянними.) Наявність шкали не залежить від ZFC: якщо припустити CH, існує шкала, тоді як у моделі Коена, яка фальсифікує СН (додаючи

реалі), масштаб не існує.

g_{α}

$g_\alpha$

f

$f$

g_{α}

$g_\alpha$

ω_{1}

$\omega_1$

— Юваль Фільм
джерело

5

Інші відповіді стосуються питання безпосередньо. Для більш глибокого досвіду цей документ Лафітте розглядає широкий контекст зайнятих функцій, схожих на бобра. Він також має деякі результати та теореми, що вкладають ідею у більш загальні рамки. Звідси видно, що (неофіційно) "зайняті боберні функції" мають тісний зв'язок із явищами незавершеності Хайтіна (теорема 2.1). Це також показує, що існують теорії, які недостатньо "потужні", щоб "зрозуміти" зайняті функції, схожі на бобра, тобто вони недосяжні в цих теоріях через неповноту, пов'язану з Годелем. Він демонструє ідею прийняття результатів, схожих на бобра, як аксіоми та логічне прогресування теорій, що призводить до подібних ідей, спочатку передбачених Тьюрінгом.

[1] Зайняті бобри здичавили Григорія Лафітта. Анотація:

Ми показуємо деякі результати неповноти à la Chaitin за допомогою функцій зайнятого бобра. Потім за допомогою порядкової логіки ми покажемо, як отримати теорію, в якій значення функцій зайнятого бобра можна доказово встановити, і використовуємо це для виявлення структури про доказовості значень цих функцій.

— взн
джерело

інша відповідь зовсім інша. Хммм, кажучи про "наголос на мові", прикладом цього може бути модератор, який каже "чорт ні" ? у будь-якому випадку абревіатура може розглядатися як щедрий подарунок людям, які люблять заробляти +2 за правки =)

— vzn

1

Ти сам кажеш, що на це не відповідає прямо, тож чому ти не опублікував коментар?

— Рафаель

0

Теореми Хартманіса-Стіарнса про час і простір ієрархії доводять, що функція "швидко зростаючої" в частині часу або простору не існує, оскільки масштаб не обмежений. Але це дає впорядкування таким чином, що всі обчислювальні / рекурсивні функції "добре поводиться" можна порівняти. Але багато математичних функцій «швидко зростаючих», схоже, не були оцінені з точки зору складності часу / простору, незважаючи на те, що це було явно чи навіть очевидним теоретичним «прогалиною». Це може призвести до важливих "мостових теорем".

— взн
джерело