Нескінченні обчислення в кінцевий час

Це, ймовірно , дурна думка, але припустимо , що у нас є комп'ютер , який запрограмований для виконання нескінченну послідовність розрахунків і припустимо , що розрахунок займає 1 / 2 я секунд. Тоді цей комп’ютер може виконати нескінченну кількість обчислень за обмежений час.$i^\text{th}$$1/2^i$

Чому це неможливо? Чи є нижня межа того, скільки часу потрібно, щоб здійснити нетривіальний розрахунок?

Цей "вид" комп'ютера відомий як машина "Зенон" . Його обчислювальна модель потрапляє до категорії під назвою Гіперкомпутати . Гіперкомп'ютаційні моделі - це математичні абстракції, і через способи їх визначення вони фізично неможливі.

Візьмемо для прикладу свою машину Zeno. Якщо ми уявляємо, що машина Зенона є будь-якою обчислювальною машиною, не має значення, чи використовує вона абакус чи інтегральну схему. Скажімо, програмні дані, що використовуються машиною, подаються на неї нескінченно довгою стрічкою символів (подібно до машини Тюрінга).

Звичайно, з математики ми знаємо, що:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}... = \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^n$

що ми кажемо, що дорівнює . Таким чином, обчислення повинні завершитися за 1 секунду, оскільки сума абсолютно збігається.$1$

Але ця конвергенція, звичайно, залежить від того, щоб іти до (і досягти) нескінченності. У фізичному сенсі це означає, що в міру зменшення часу, необхідного для кожного обчислення, «голові зчитування» обчислювальної машини доведеться все ближче і швидше прошивати символи на стрічці. У якийсь момент ця швидкість перевищить швидкість світла.$n$

Отже, відповідаючи на ваше друге запитання, абсолютна найменша обмежена кількість обчислення, ймовірно, буде на порядку часу Планка, враховуючи швидкість світла як основний обмежуючий фактор у теоретичних, але фізично правдоподібних моделях обчислень.

Час, необхідний для примітивного обчислення, обмежений швидкістю світла та розміром атомів, наскільки ми розуміємо фізику саме цього дня, 15 вересня 2015 року.

Обчислювальну одиницю потрібно скласти з чогось ненульового розміру (атомів), і для того, щоб розрахунки працювали, електроенергію або світло потрібно буде блискавити через неї, що буде обмежено тим, скільки часу потрібно, щоб світло пробивалося не -зеро відстань.

$\Sigma_{n=1}^\infty (\frac{1}{2})^n$$1$

$\frac{1}{2}$$\frac{1}{4}$$\frac{3}{4}$ літра червоного кольору. Тепер ви продовжуєте, завжди наливаючи в червоне відро половину того, що є у синьому відрі. Очевидно, що ви ніколи не потрапите більше, ніж один літр в червоне відро, і так само явно у вас буде більше води в блакитному відрі.

$c_1$$c_1$

Редагувати : Як зазначає @aroth, ця аналогія передбачає, що ми можемо продовжувати ділити воду назавжди; що немає найменшого неподільного атома. Що викликає цікавий (я думаю) пункт, що ми також повинні вважати, що час довільно розділиться для того, щоб обчислення закінчилося в кінцевий час.