Алгоритм відповідності рядків швидкого невідповідності

Я шукаю швидкий алгоритм відповідності рядків k-невідповідності. З огляду на рядок шаблону P довжиною m та текстовий рядок T довжиною n, мені потрібен швидкий (лінійний час) алгоритм, щоб знайти всі позиції, де P відповідає підрядку T з не більше k невідповідностей. Це відрізняється від проблеми k-відмінності (відстань редагування). Невідповідність має на увазі, що підрядок і візерунок мають різну букву в максимум k позиціях. Мені справді потрібна лише k = 1 (максимум 1 невідповідність), тому швидкого алгоритму для конкретного випадку k = 1 також буде достатньо. Розмір алфавіту становить 26 (нечутливий до регістру англійський текст), тому потреба в просторі не повинна зростати надто швидко з розміром алфавіту (наприклад, алгоритм FAAST, я вважаю, займає експоненціальний простір у розмірі алфавіту, і так підходить тільки для послідовностей білків і генів).

Підхід на основі динамічного програмування, як правило, буде O (mn) в гіршому випадку, який буде занадто повільним. Я вважаю, що для цього є модифікації алгоритму Бойєра-Мура, але я не в змозі взяти на себе такі документи. У мене немає підписки на доступ до академічних журналів чи публікацій, тому будь-які довідники повинні бути публічними.

Я дуже вдячний за будь-які вказівки або посилання на вільно доступні документи або сам алгоритм цієї проблеми.

Для цієї проблеми можна використовувати масиви суфіксів . Вони містять вихідні положення кожного суфікса рядка, відсортованого в лексикографічному порядку. Незважаючи на те, що вони можуть бути побудовані по наївності в складності, є методи , щоб побудувати їх в thetas ; ( п ) складності. Дивіться, наприклад, це і це . Назвемо цей масив суфіксів SA.$O(n\log n)$$\Theta(n)$

Після створення суфіксного масиву нам потрібно побудувати найдовший масив загального префікса (LCP) для масиву суфіксів. Масив LCP зберігає довжину найдовшого загального префікса між двома послідовними префіксами в масиві суфіксів (лексикографічні послідовні суфікси). Таким чином, LCP [i] містить довжину найдовшого загального префікса між SA [i] та SA [i + 1]. Цей масив також може бути побудований у лінійному часі: дивіться тут , тут і тут кілька хороших посилань.

Тепер, щоб обчислити довжину найдовшого префікса, спільного для будь-яких двох суфіксів у дереві суфіксів (замість послідовних суфіксів), нам потрібно використовувати деяку структуру даних RMQ . У наведених вище посиланнях було показано (і їх можна легко побачити, якщо масив візуалізується як суфіксне дерево), що довжина найдовшого загального префікса між двома суфіксами, що мають позиції і v ( u < v ) у масиві суфіксів , може бути отримано як m i n u < = k < = v - 1 L C P [ k $u$$v$$u < v$$min_{u<=k<=v-1}{LCP[k]}$. Хороший RMQ може попередньо обробити масив за час O ( n ) або O ( n log n ) та відповісти на запити форми L C P [ u , v ] в O ( 1 ) час. Дивіться тут про алгоритм стислих RMQ, а тут - хороший підручник з питань RMQ та взаємозв'язку (та скорочень) між LCA та RMQ. Це ще один приємний альтернативний підхід.$LCP$$O(n)$$O(n\log n)$$LCP[u, v]$$O(1)$

За допомогою цієї інформації ми будуємо суфіксний масив та пов’язані з ними масиви (як описано вище) для конкатенації двох рядків з роздільником між ними (наприклад, T # P, де "#" не зустрічається в жодному рядку). Тоді ми можемо виконати збіг рядків k невідповідності за допомогою методу "кенгуру". Це і це пояснює метод кенгуру в контексті дерев суфіксів, але він може бути безпосередньо застосований і до масивів суфіксів. Для кожного індексу тексту T знайдіть L C P суфікса T, що починається з i, і суфікса $i$$T$$LCP$$T$$i$$P$починаючи з 0. Це дає місце, після якого виникає перше невідповідність при зіставленні з T [ i ] . Нехай ця довжина буде l 0 . Пропустіть невідповідний символ як у T, так і в P і спробуйте відповідати решти рядків. Тобто, знову - таки знаходимо л З Р з Т [ я + л 0 + 1 ] і Р [ л 0 + 1 ] . Повторіть це, доки не отримаєте k невідповідностей або завершення рядків. Кожен$P$$T[i]$$l_0$$T$$P$$LCP$$T[i + l_0 + 1]$$P[l_0 + 1]$$k$ є O ( 1 ) . Є O ( K ) L З Р «S для кожного індексу я з T , даючи це загальна складність O ( п до ) .$LCP$$O(1)$$O(k)$ $LCP$$i$$T$$O(nk)$

Я використав простіший для реалізації RMQ, що дає загальну складність , або O ( n k + n log n ), якщо m = O ( n ) , але це можна також виконати в O ( n k ), як описано вище. Для цієї проблеми можуть бути й інші прямі методи, але це потужний і загальний підхід, який можна застосувати до багатьох подібних проблем.$O(nk + (n+m)\log(n+m))$$O(nk + n\log n)$$m = O(n)$$O(nk)$

Нижче наведено очікуваний алгоритм (який можна поширити на інші k , зробивши його O ( n k + m ) ). (Я не робив розрахунків, щоб довести, що це так).$\mathcal{O}(n + m )$$k$$\mathcal{O}(nk +m )$

Ідея схожа на алгоритм хеш-катування Rabin-Karp для точних збігів підрядків.

Ідея полягає в тому, щоб відокремити кожен рядок довжини в 2 - K блоків м / 2 до розміру кожного , і обчислити коченню хеш для кожного блоку (дає 2 до хеш - значення) і порівняти ці 2 K хеш - значення по відношенню до одного з шаблону.$m$$2k$$m/2k$$2k$$2k$

У цих значеннях ми допускаємо не більше невідповідностей.$k$

Якщо трапляється більше невідповідностей, ми відхиляємось і рухаємось далі. В іншому випадку ми намагаємося підтвердити приблизну відповідність.$k$

Я очікую (застереження: я сам не пробував) це, мабуть, буде швидше на практиці і, можливо, простіше кодувати / підтримувати, ніж використовувати підхід на основі дерева суфіксів.