Твердість та напрямки скорочень

Скажімо, ми знаємо, що проблема A є важкою, тоді ми зводимо A до невідомої задачі B, щоб довести B також важко.

Як приклад: ми знаємо, що триколірне забарвлення важко. Потім ми зменшуємо 3-кольорові до 4-х забарвлень. Поєднуючи один із кольорів у 3-х забарвленнях, ви маєте 4-кольорові кольори, ерго-4-розфарбовування важко.

Ось як. Але чому це доказ того, що 4-х фарбування важко? Це ви можете використовувати для вирішення проблеми з 3 забарвленнями проблему з 4 кольорами? Якщо так, то як? Якщо ні, то чому це дійсний доказ?

Бонус q: Чи повинні поліноміальні скорочення мати можливість проходити обома напрямками?

Редагувати: якщо ви зможете пояснити, чому це так, на прикладі, ви зробите послугу в Інтернеті. Я не міг знайти це пояснено конкретно.

Зниження від завдання до іншої проблеми є перетворення будь-якого примірника з в екземпляр з , таким чином, що$A$$B$$f$$a$$A$$f(a)$$B$

Якщо - перетворення, що зберігає цікаву для вас складність (наприклад, - поліномійна трансформація, якщо врахувати -твердість), то існування алгоритму рішення означає існування алгоритму, що вирішує : достатньо запустити , тоді .$f$$f$$\mathsf{NP}$$\mathcal A_B$$B$$A$$f$$\mathcal A_B$

Отже, існування такого зменшення в від до означає , що не легше , ніж . Іншим способом зменшення не потрібно.$A$$B$$B$$A$

Наприклад, для розфарбування графіків. Ви можете зменшити 3-х забарвлення до 4-х забарвлень, але не відразу. Якщо ви візьмете графік і ви вибрали то у вас буде але у вас немає звичайно. Висновок про те , що еквівалентність не дотримується, тому є НЕ скорочення.$G$$f(G)=G$$x∈3\mathsf{COL}$ $⇒$ $f(x)∈4\mathsf{COL}$$f(x)∈4\mathsf{COL}$ $⇒$ $x∈3\mathsf{COL}$$(E)$$f$

Ви можете побудувати правильне зменшення від до але це трохи складніше: для будь-якого графіка нехай буде графік розширений іншим вузлом , тобто прив’язаний ребром до кожного іншого вузла.$f$$3\mathsf{COL}$$4\mathsf{COL}$$G$$f(G)$$G$$u$

• Трансформація зберігає складність (поліном, тут);
• якщо в тоді знаходиться в : просто використовуйте четвертий колір для ;$G$$3\mathsf{COL}$$f(G)$$4\mathsf{COL}$$u$
• якщо знаходиться в то ви можете довести, що всі вузли, крім мають колір, який не є , отже, знаходиться в .$f(G)$$4\mathsf{COL}$$u$$u$$G$$3\mathsf{COL}$

Це доводить, що - це скорочення і що важче, ніж . Ви можете довести так само, що важче, ніж для будь-якого , цікавим доказом є той факт, що важче будь-якого .$f$$4\mathsf{COL}$$3\mathsf{COL}$$n\mathsf{COL}$$m\mathsf{COL}$$n≥m$$3\mathsf{COL}$$n\mathsf{COL}$