Доброго вечора! Я фактично стажуюсь у Національних архівах Франції, і я зіткнувся з ситуацією, яку хотів вирішити за допомогою графіків ...

I. Пильна ситуація

Ми хочемо оптимізувати розташування книг моєї бібліотеки відповідно до їх висоти, щоб мінімізувати їхню вартість архіву. Висота та товщина книг відомі. Ми вже упорядкували книги у порядку зростання$H_1,H_2,\dots,H_n$(Я не знаю, чи було це найкраще, але ... саме так ми це зробили). Знаючи товщину кожної книги, ми можемо визначити для кожної$H_i$ класифікуйте необхідну товщину для їх розташування, назвіть її $L_i$ (наприклад, книги, які є $H_i = 23\,\mathrm{cm}$ високий може мати загальну товщину $L_i = 300\,\mathrm{cm}$).

Бібліотека може виготовляти на замовлення полки, вказуючи бажану довжину та висоту (без проблем із глибиною). Полиця висотою$H_i$ і довжина $x_i$ витрати $F_i+C_ix_i$, де $F_i$ є фіксованою вартістю і $C_i$ - вартість полиці на одиницю довжини.

Зверніть увагу, що полиця висотою $H_i$ можна використовувати для зберігання книг висоти $H_j$ з $j\leq i$. Ми хочемо мінімізувати витрати.

Мій репетитор запропонував розглянути цю проблему як проблему пошуку шляху. Модель може включати в себе$n+1$ вершини індексованої форми $0$ до $n$. Мій наставник запропонував розробити існуючі умови, кожне означення краю та як опрацювати оцінку$v(i,j)$ пов'язаний з краєм $(i,j)$. Я також був би в порядку з іншими рішеннями, а також розумінням.

Наприклад, ми маємо для Конвенції (похмурий період французької історії) такий масив:

II. Припущення про стажерського хробака

Я думаю, що мені доведеться обчислити алгоритм між Джикстра, Беллман або Беллман-Калаба ... Я намагаюся з’ясувати, який із наступних підрозділів.

1.Умови

Ми тут з проблемою проходження маршруту між вершинами $0$ і вершина $n$, $n$ повинні бути вихідними з $0$ (тобто, шлях (або прогулянка) повинен існувати між ними $0$ і $n$

2.Що обчислити (оновлено (25.10.2015))

// Працюйте ще в процесі, наскільки я не знаю, до яких вершин і які ребра моделювати ...

Моя найкраща здогадка

Я думаю, що ми позбавляємось принаймні одного типу полиць щоразу, коли знаходимо найкоротший шлях з масиву, але це лише моє припущення ...;).

Я думаю, що найкращий спосіб моделювати, як купувати полиці та зберігати наші книги, повинен виглядати наступним графіком (але, будь ласка, не соромтеся критикувати мій метод!;))

вершини:

• $i\in[1,4]$ - це полки, які ми можемо використовувати для зберігання наших книг.
• $0$це стан, в якому не зберігається жодна книга. Використання цієї вершини дозволяє мені використовувати формули (ребра) витрат.

краї: $F_i+C_ix_i,i\in[1,4]$- це вартість з використанням типу полиць. наприклад:$F_1+C_1x_1$ fom 0 - це вартість, яка використовує лише полиці типу 1 для зберігання наших пергаментів, рукописів ...

Але звідси я не знаю, як створити свою найкоротшу проблему шляху.

Дійсно, я б не знав, де б я зберігав усі свої книги.

Це підводить мене до іншої ідеї ...

інша ідея ...

Тут я шукаю найкоротший шлях від заданої вершини до стану 0, тобто, знаючи, що найвищий документ $type \ i$ високий, я шукаю найдешевший спосіб оформити свої документи.

вершини:

• $i\in[1,4]$ - це полки, які ми можемо використовувати для зберігання наших книг.
• $0$це стан, де зберігаються всі книги. Використання цієї вершини дозволяє мені використовувати формули (ребра) витрат.

краї: $F_i+C_ix_i,i\in[1,4]$- це вартість з використанням типу полиць. наприклад:$F_1+C_1x_1$ від 3 - вартість використання $type \ 1$ полки після використання $type \ 3$ полки для зберігання наших пергаментів, рукописів ...

Але я не знаю, куди подіти $F_4+C_4x_4$.

3.Як проводити обчислення

Я думаю, що ми повинні починати з вищих полиць, наскільки ми можемо зберігати менші книги ...

Зробіть

Ми беремо $L_n$ см з $H_{i=n}$ висота в полиці їх висоти + $z$ см an $H_{i=n-1}$ висота, поки вона не стане дорожчою, ніж брати $H_{i=n-1}$полиця. тоді$i=i-1$

Поки i> <0

Нарешті, я не знаю, як зробити x різними ...

Тобто, як вибрати, як поставити $x_i$ документи в $4$ або $3$ наприклад.

Я бачу, як ви запитуєте: "Я хочу вирішити це за допомогою алгоритму Діккстри, але я не можу створити хороший графік для роботи", тому я представлю вам такий графік.

Діграф, де вершини - це сукупність книг, що зберігаються.

Гаразд, у нас книги з висотою $H_n,$ $1 \le n \le N$ і ширини $W_n,$ з висотами у порядку зростання для кожної книги, і ми хочемо згрупувати їх по поличках.

Використовуйте ці числа для вузлів рішення $n,$ де цей вузол являє собою стан рішення "всіх книг $i \le n$ були відкладені ". Тому ми почнемо з вузла $0$ і прагнути дістатися до вузла $N$по найкоротшому шляху з алгоритмом Дійкстри. Ці вузли є вершинами нашого графіка.

Потім малюємо з вузла $i$ до будь-якого вузла $j \gt i$ спрямований край, який передбачає, що всі ці посередницькі книги будуть покладені однією поличкою, тобто довжина цього краю

Алгоритм Дейкстри дасть нам найменший шлях до вузла $N.$

Я думаю, що у мене є рішення вашої проблеми. Сподіваюся, я щось неправильно не зрозумів у визначенні вашої проблеми. Ось це іде:

Я опишу підхід до динамічного програмування. Це є$O(n^{2})$ алгоритм, а це означає, що оскільки кількість книг величезна, то вам не дуже допоможуть. (вам потрібно його трохи змінити!). За допомогою деякої роботи ви можете перетворити зазначений підхід на динамічне програмування в екземпляр пошуку найкоротшого шляху на спрямованому ациклічному графіку. (Який сам алгоритм динамічного програмування: P)

Припустимо, є $n$ книги різної висоти.

Припустимо також, що оптимальна вартість досягається присвоюванням книг $i$ полиці висоти $h_{1},h_{2},...,h_{i}$ де $h_{1}<h_{2}<...<h_{i}$.

Докажемо наступні дві речі:

A. $C_{a}>C_{a-1}$

Припустимо, навпаки. Дозволяє$B_{a-1}$ бути набором книг, призначених на полиці $a-1$ Тоді $cost = other,stuff + C_{a-1}*thickness(B_{a-1})$

Оскільки ми вважали, $C_{a}<C_{a-1}$, перенесемо всі книги на полиці $a-1$ до $a$ (що можливо з тих пір $h_{a-1}<h_{a}$.

Так що тепер, $cost =other,stuff + C_{a}*thickness(B_{a})$що нижче, ніж раніше. Отже, ми маємо протиріччя через оптимальності, яку ми припускали.

Тому $C_{a}>C_{a-1}$ для всіх створених полиць

Б. Нехай $j$ бути книгою, яка призначена на полицю $a$. Доведемо це$height(j)>h_{a-1}$

Це досить легко. Якщо$height(j)$ було менше, ніж $h_{a-1}$ ми могли б поставити книгу на полицю $a-1$ за кращу вартість (за рахунок А).

З двох речей, які ми довели, B є важливим.

Дозволяє $dp[a]$= оптимальна вартість зберігання книг $1...a$ щоб там була полиця $height(a)$. Ви повинні знайти спосіб визначення$dp[a]$ за значеннями $dp[1],dp[2],....dp[a-1]$

Я тут зупинюсь. Якщо ви знайомі з динамічним програмуванням, використовуючи факт B, ви легко придумаєте повторення. Інакше запитайте :). Як я вже говорив, це може перетворитися на проблему DAG. Знаючи відношення вище, легко зрозуміти, що таке край$(a,b)$ означає і визначити його вартість.

І останнє, але не менш важливе, як я вже говорив вище, оскільки книг велике, ви не можете використовувати алгоритм для кожної книги. Я думаю, що представляючи його висоту на суму його товщини, слід зробити трюк. (Я думаю, це вже так з вашої заяви)

(Я здогадуюсь, кількість різних висот набагато менша, ніж кількість книг)

Іноді просто "збільшення масштабу" на "найближчу проблему" в літературі може допомогти зрозуміти теорію та передумови проблеми, побудувати абстракцію та усунути помилкові деталі. Найближчою до вашої літератури проблемою здається те, що відомо як "проблема упаковки у контейнери для змінних розмірів". Зразки паперів наведені нижче. Ця проблема є теоретично вивченою, і існує певне програмне забезпечення, яке з'являється в оптимізації пакувальних коробок, наприклад, до вантажних контейнерів. Існують також версії, де можна регулювати розмір контейнера. Існує багато алгоритмічних підходів. наприклад, з 1- ^го паперу:

Проблема, розглянута в цій роботі, полягає в тому, щоб ортогонально упакувати заданий набір предметів прямокутної форми в мінімальну кількість тривимірних прямокутних бункерів.

• ОПТИМІЗАЦІЯ Тривимірні BIN УПАКОВКИ З ДОПОМОГОЮ МОДЕЛИРОВАНИЯ / Дубі, Kanavathy

• Проблема з упаковкою контейнерів із невизначеними обсягами та потужностями / Пенг, Чжан

• 3D алгоритми упаковки бін , stackoverflow