NP-твердість покриття прямокутними елементами (тестовий раунд Google Hash Code 2015)

Тест-раунд Google Hash Code 2015 ( постановка проблеми ) запитав про таку проблему:

вхід: сітка з позначеними квадратами, порогом , максимальною площею $M$ $T \in \mathbb{N}$ $A \in \mathbb{N}$
Вихід: найбільша можлива площа безлічі непересічних прямокутників з цілими координатами в загальній складності таким чином, що кожен прямокутник включає , щонайменше , , відмічені квадрати і кожен прямокутник має область в більшості . $M$ $T$ $A$

У термінології Google сітка - це піца, позначені квадрати - шинка, а розрізнені прямокутники - скибочки.

Ми можемо чітко перефразувати цю проблему до задачі рішення, додавши додатковий вхід і нехай відповідь буде "чи існує набір неперервних прямокутників, що задовольняють умовам, загальна площа яких становить не менше квадратів". $n \in \mathbb{N}$ $n$

Моє запитання: в той час як проблема Google вимагає від кандидатів знайти рішення, яке є «максимально добрим» для проблеми обчислення в конкретному екземплярі, я думаю, що ймовірно, що загальна проблема (у формулюванні її рішення) є NP-завершеною. Однак я не можу знайти зниження, щоб показати твердість NP. (Членство в NP негайне.) Як довести, що ця проблема є складною?

Наведемо кілька прикладів, які допоможуть візуалізувати проблему. Розглянемо сітку на $4$ $4$ $\{0, 1, 2, 3\} \times \{0, 1, 2, 3\}$ , з позначеними квадратами , і , графічно зображеними з для позначення позначених квадратів: $(1, 1)$ $(0, 2)$ $(2, 2)$ X

..X.
.X..
..X.
....

Встановіть (прямокутники щонайбільше квадратів) і (принаймні один позначений квадрат на прямокутник), оптимальним рішенням (яке охоплює всю сітку) є прийняття таких прямокутників: $A = 6$ $6$ $T = 1$

aaAa
bBcc
bbCc
bbcc

На наступній сітці з і : $A = 3$ $T = 2$

XXX
.X.
...

Не можна зробити краще, ніж покрити лише три квадрати:

AAA
.X.
...

або

XBX
.B.
.b.

(пам'ятайте, що прямокутники в розділі не можуть перекриватися).

З іншими людьми, які розглядають це питання, ми намагалися зменшити кількість пакунків у контейнерах, покрити проблеми, 3-SAT та гамільтоніанські цикли, і нам не вдалося змусити його працювати.

complexity-theory reductions np-hard

— a3nm
джерело

Це ескіз скорочення від MONOTONE CUBIC PLANAR 1-3 SAT:

Визначення [1-3 задача SAT]:
Вхідні дані: Формула 3-CNF $\varphi = C_1 \land C_2 \land ... \land C_m$ $C_j$ $C_j = (\ell_{j,1} \lor \ell_{j,2} \lor \ell_{j,3})$
$\varphi$ $C_j$ містить точно один справжній літерал.

Проблема залишається NP-повною навіть у тому випадку, якщо всі літерали в застереженнях є позитивними (MONOTONE), якщо вбудований графік, що з'єднує пропозиції зі змінними, є площинним (PLANAR) і кожна змінна міститься в точно 3 клавішах (CUBIC) (C. Moore та JM Робсон, важкі проблеми з плиткою простих плиток, дискретні обчислення. Геом. 26 (2001), 573-590.).

$T=3, A=6$

$A$ $+$ $-$

$x_i$ $x_i = TRUE$ $x_i = FALSE$

$C_j$ $L_{i,1}, L_{i,2}, L_{i,3}$ просто представлений однією шинкою з трьома вхідними позитивними відрізками трьох чітких слідів шинки; за допомогою побудови лише одна з трьох доріжок, що несуть позитивний сигнал, може «прикрити» хам-клауз.

Нарешті, ми можемо побудувати гаджети зсуву та повороту для передачі сигналів відповідно до базового планарного графіка та коригування кінцевих точок:

$H$ $A$

$H /3$ $A H / 3$

$H /3$ $A H / 3$ ), то жодна шинка не залишається непокритою, а сигнали на гаджетах із змінними та на застереженнях узгоджуються: шинка на пункті є покритий рівно одним позитивним фрагментом, що надходить із позитивної змінної, і кожна змінна генерує 3 позитивних сигналу або 3 негативних сигналу (відсутні змішані сигнали); тому розрізи викликають дійсне призначення 1-3 SAT.

— Vor
джерело