Чому Radix Sort ?

У сортуванні radix ми спочатку сортуємо за найменш значущою цифрою, потім сортуємо за другою найменш значущою цифрою тощо, і закінчуємо сортованим списком.

Тепер, якщо у нас є список з чисел, нам потрібно розрядів, щоб розрізняти це число. Так кількість поразрядной сортування проходить ми робимо буде . Кожен прохід займає час, а значить, час роботи сортування radix становитьlog n log $n$$\log n$$\log n$O ( n log n $O(n)$$O(n \log n)$

Але добре відомо, що це лінійний алгоритм часу. Чому?

якщо у нас є список з чисел, нам потрібно бітівжурнал $n$$\log n$

Ні: якщо у нас є список чисел від до , нам потрібно біт. Немає взаємин між і загалом.2 k - 1 k k log $0$$2^k - 1$$k$$k$$\log n$

Якщо цифри всі виразні, то , і сортування radix на окремі числа, отже, має складність у часі . Загалом, складність сортування радіокси є де - кількість елементів для сортування, а - кількість бітів у кожному елементі.Ω ( n log n ) Θ ( $\log n \ge k$$\Omega(n \log n)$п $\Theta(n \, k)$$n$$k$

Сказати, що складність сортування radix дорівнює означає прийняття фіксованого розміру бітів для чисел. Це означає, що для досить великого буде багато повторюваних значень.$O(n)$$n$

Існує загальна теорема про те, що метод сортування масиву чи списку, який працює, порівнюючи два елементи за один раз, не може працювати у швидшому випадку, ніж . Сортування Radix не працює, порівнюючи елементи, але працює той самий метод підтвердження. Сортування Radix - це процес прийняття рішення для визначення, яку перестановку застосувати до масиву; єперестановки масиву і сортування radix приймають бінарні рішення, тобто він вирішує, замінювати два елементи чи ні на кожному етапі. Після бінарних рішень сортировка radix може визначати перестановки . Щоб досягтиможливі перестановки, необхідно, щоб .n ! м 2 м н ! m ≥ log ( n ! ) = Θ ( n log n $\Theta(n \log n)$$n!$$m$$2^m$$n!$$m \ge \log (n!) = \Theta(n \log n)$

Припущення в доказі того, що я не писав вище, полягає в тому, що алгоритм повинен працювати в тому випадку, коли елементи відрізняються. Якщо апріорі відомо, що елементи не всі виразні, то кількість потенційних перестановок менше повного. При сортуванні -бітових чисел можливе лише різних елементів, коли ; у цьому випадку складність сортування радіасів дійсно є . Для більших значень повинні бути зіткнення, що пояснює, як сортування радіокси може мати складність, меншу ніж коли .k n n ≤ 2 k Ω ( n log n ) n Θ ( n log n ) n > 2 $n!$$k$$n$$n \le 2^k$$\Omega(n \log n)$$n$$\Theta(n \log n)$$n \gt 2^k$

Будьте обережні зі своїм аналізом: як ви вважаєте, щоб зробити сортування за час? Це відбувається тому, що кожна ваша цифра знаходиться в діапазоні від до , тобто ваші цифри можуть приймати можливих значень. Вам потрібен стабільний алгоритм сортування, так що ви можете, наприклад, вибрати сортування підрахунку. Підрахунок сортування працює в час. Якщо , підрахунок сортування працює за лінійним часом.0 k - 1 k Θ ( n + k ) k = O ( n $O(n)$$0$$k-1$$k$$\Theta(n+k)$$k=O(n)$

У кожному з ваших рядків чи чисел є -знаки. Як ви кажете, ви робите проходи над ними. Отже, сортування radix чітко працює за . Але якщо ми вважаємо постійним і , ми бачимо, що сортувальний радіус працює в лінійний час.d Θ ( d ( n + k ) ) d k = O ( n $d$$d$$\Theta(d(n+k))$$d$$k=O(n)$

Я думаю, припущення неправильне. Ви можете виконати сортування в радіаційному режимі з числами, наприклад, у шістнадцяткові. Таким чином, на кожному кроці ви розділяєте масив чисел на відер.$k = \log_2(n)$$16$