Як довести P NP?

Я усвідомлюю, що це здається дуже дурним (або занадто очевидним, щоб заявити). Однак я в якийсь момент розгубився.

Ми можемо показати, що P NP$=$ тоді і тільки тоді, коли ми можемо розробити алгоритм, який вирішує будь-який заданий екземпляр задачі в NP у поліноміальний час.

Однак я не розумію, як на землі ми можемо довести, що P NP . Вибачте, будь ласка, за наступну схожість, бо це може бути настільки неактуальним, але сказати комусь довести, якщо P не дорівнює NP , мені здається, як сказати комусь довести, що Бог не існує.$\neq$

Існує безліч проблем, які не вдається вирішити недетермінованими кінцевими автоматами (NFA) з поліномним числом станів незалежно від існуючої технології (я знаю, це неохайне визначення). Крім того, у нас є значно великий набір алгоритмів, який створює деякі вирішальні проблеми (найкоротший шлях, мінімальне дерево, що охоплює, і навіть сума цілих чисел ) поліноміально-часові задачі.$1 + 2 + \dots + n$

Моє запитання коротко: Якщо я вважаю, що P NP$=$ , ви б сказали "тоді покажіть свій алгоритм, який вирішує задачу NP в поліноміальний час!". Припустимо, я вважаю P NP . Тоді що б ви точно запитали? Що ти хотів би показати мені?$\neq$

Відповідь однозначно "ваше доказ". Однак який доказ показує, що алгоритм не може існувати? (у цьому випадку поліноміальний алгоритм часу для задачі NP )

Мені відомо три основні способи, які можуть довести, що P NP$\,\neq\,$ .

1. Показано , що є деяка проблема , яка знаходиться в  NP , але не в  P . Вам, напевно, знайоме доказ того, що для сортування на основі порівняння потрібен час щоб сортувати список з  елементів. В принципі, можна надати аналогічний доказ, який показує, що 3SAT або якась інша NP- неповна проблема не може бути вирішена вчасно для будь-якої постійної  . Теорія геометричної складності намагається використовувати інструменти алгебраїчної геометрії та теорії групового представлення для доведення таких нижчих меж, розглядаючи симетрії, які мають проблеми. Складність схеми - інша.n O ( n c ) $\Omega(n\log n)$$n$$O(n^c)$$c$

2. Показано, що P і  NP мають різні структурні властивості. Наприклад, P  закритий під доповненням. Якщо ви могли б показати, що NP co-NP$\,\neq\,$ (тобто, що NP  не закритий під доповненням), тоді повинен бути, що P NP$\,\neq\,$ . Звичайно, це просто підштовхує проблему на один рівень глибше - як би ви довели, що NP co-NP$\,\neq\,$ ?

   Інша можливість полягає в тому, що ми знаємо, що NP  - це саме той клас проблем, який можна визначити за допомогою екзистенціальної логіки другого порядку. Якщо ви могли б показати, що немає логіки, що відповідає точно  P (або якщо є логіка, але вона відрізняється від ), то P і  NP повинні бути різними. Пов'язана (насправді еквівалентна) ідея полягає у тому, щоб показати, що P  не має повних проблем зі скороченнями, визначеними логікою першого порядку, оскільки відомо, що NP  має ці проблеми в цих скороченнях.$\exists\mathrm{SO}$

3. Доведіть, що певна проблема не є NP- незавершеною. Якщо P NP$\,=\,$ , то кожна нетривіальна проблема в  NP є NP- незавершеною при поліноміально-часових множинних скороченнях ("нетривіальне" тут означає не або  ). Отже, якщо ви можете показати, що якась проблема в  NP не є NP- незавершеною, тоді ми повинні мати P NP .Σ $\emptyset$$\Sigma^*$ $\,\neq\,$

Моє запитання коротко: Якщо я вважаю, що P = NP , ви б сказали "тоді покажіть свій алгоритм, який вирішує задачу NP в поліноміальний час!".

Не забувайте, що вам все-таки доведеться довести, що ваш алгоритм вирішує проблему і що вона працює в поліноміальний час.

Припустимо, я вважаю P ≠ NP . Тоді що б ви точно запитали? Що ти хотів би показати мені?

Спочатку спробуйте пояснити "чому" P ≠ NP , і чому цю причину можна використовувати для доведення P ≠ NP у відповідних логічних рамках. Потім накресліть доказ та поясніть, як можна захистити його найбільш сумнівні частини. Далі розбийте цей доказ на більш прості твердження, які можна перевірити самостійно.

• Наприклад, логічна основа, надана ZFC, є хорошою (навіть занадто хорошою в певному сенсі) при доведенні існування моделей (явно заданих наборів аксіом, часто навіть задовольняючи додаткові металогічні властивості). Отже, якщо ви знаєте причину P ≠ NP, пов’язану з існуванням моделі з деякими дивними властивостями, то спочатку поясніть цю причину, а потім покажіть, як відповідна модель може бути побудована в ZFC.
• Як неприклад, я вважаю, що одна з причин "чому" P ≠ NP полягає в тому, що математика може наближати майже все, що відбувається у фізичному світі, включаючи випадковість. Однак відомий факт, що формальні системи дуже обмежені у своїй здатності доводити заданий рядок, число, "об'єкт" або "артефакт" як фактично випадкові, тому навряд чи цю причину можна використовувати для доказування в будь-якій чітко заданій детермінованій формальній системі. Можливо, якщо ви створили імовірнісну (квантову) систему доказів, ви зможете перевірити певні докази в системі лише до обмеженої ймовірності залежно від наявних фізичних ресурсів ...
• Як імовірно, неприклад, закон виключеної середини в основному відображає статичний вигляд (математичної) Всесвіту, а значить, в динамічній Всесвіті вкрай малоймовірно . Тепер NP = coNP (або будь-який інший колапс поліноміальної ієрархії) в основному був би приблизною версією закону виключеної середини щодо часової складності, але часова складність занадто близька до динамічної всесвіту, щоб це стало можливим. Існують такі логічні рамки, як лінійна логіка Гірарда, які здатні фіксувати динамічні аспекти Всесвіту, тому ... Зауважте, що Браувер опинився в подібній ситуації і вже заявив про необхідний провал програми Гільберта як факт у своїй інавгураційній адресі Інтуїціонізм та формалізм у 1912 р. (пояснюючи, чому це було б круговим міркуванням), але все ще не зміг навіть накреслити доказ Геделя про незавершеність 1930 року.
• Як приблизний приклад, спробуємо зафіксувати деякі доступні докази для P ≠ NP , а саме експоненціальну нижню межу для політопа мандрівного продавця та внутрішньодослідність процедур, заснованих на роздільній здатності, щодо задоволеності завдяки слабким принципам голубого отвору. "Чому" в цьому випадку полягає в тому, що певний клас проблем, повних NP, не може бути ефективно вирішений алгоритмами, що спираються на певні природні (для класу розглянутих задач NP-повного) принципи, як, наприклад, лінійні формулювання програмування для TSP або засновані на вирішенні методи підтвердження САТ. Різні статті давали різні незалежні причини, чому це можна використати для доказування чогось, наприклад, в останній статті про TSP, наприклад, було вказано "тісний зв'язок між напіввизначеним переформулюванням програмування LP та односторонніми протоколами квантових комунікацій", а останній документ про резолюцію цитуються дві незалежні причини, а саме нижчі межі "для класу формул, що представляють принцип голубої дуги, і для випадково генерованих формул".
  Можна також спостерігати, що з часом були спроби посилити результати. Первісні результати для TSP стосувались лише симетричної лінійної рецептури програмування, тоді як останні результати не мають такого обмеження, а також застосовуються до максимального скорочення та максимально стійких заданих задач на додаток до TSP. Початковими результатами розв’язання були лише основні процедури вирішення Дейвіса-Путнама та єдиний клас штучних протиприкладів, тоді як останні результати охоплюють великі класи методів, заснованих на роздільній здатності, і дають кілька класів зустрічних прикладів, що зустрічаються в природі.
  Що стосується TSP, я не маю уявлення, як слід додатково посилити результати, за винятком, можливо, застосувавши ще більше проблем, крім TSP, максимального скорочення та максимально стабільного набору. Для вирішення я б мав багато ідей, як додатково посилити результати, але стаття, до якої я посилався, - з 2002 року, Стівен Кук та Пхуонг Нгуен опублікували монографію « Логічні основи доказів складності» у 2010 році, яку я навіть не переглянув, і я здогадуйтесь, це вже охопить багато моїх ідей. Цікаво відзначити, наскільки мало різниці це насправді для більшості з нас, наскільки ці результати були зміцнені з часом, незважаючи на наш інтерес до Р ≠ НПпитання. Навіть якщо б тим часом було доведено, що алгоритми, що покладаються на логічні системи без еквівалента правилу вирізання, не можуть ефективно вирішити проблеми із задоволенням, ми все одно вважатимемо, що прогресу P ≠ NP по суті не було , що проблема по суті є як і раніше широко відкриті.