Детермінований лінійний алгоритм часу, щоб перевірити, чи є один масив відсортованою версією іншого

Розглянемо наступну проблему:

Вхідні дані: два масиви і довжиною , де у відсортованому порядку.$A$$B$$n$$B$

Запит: чи містять і однакові елементи (за їх кратністю)?$A$$B$

Який найшвидший детермінований алгоритм цієї проблеми?
Чи можна це вирішити швидше, ніж їх сортування? Чи можна цю проблему вирішити в детермінований лінійний час?

Ви не вказали модель обчислення, тому я припускаю модель порівняння.

Розглянемо особливий випадок, коли масив взято зі списку Словом, й елемент є або або .{ 1 , 2 } × { 3 , 4 } × ⋯ × { 2 n - 1 , 2 n } . i 2 i - 1 2 $B$

$$\{1,2\} \times \{3,4\} \times \cdots \times \{2n-1,2n\}.$$ $i$$2i-1$$2i$

Я стверджую , що якщо алгоритм робить висновок , що і містять ті ж самі елементи, що алгоритм порівняв кожен елемент з його аналогом в . Дійсно, припустимо , що алгоритм робить висновок , що і містять одні і ті ж елементи, але ніколи не порівнює перший елемент його аналога в . Якщо ми переключимо перший елемент, алгоритм діяв би точно так само, хоча відповідь відрізняється. Це показує , що алгоритм повинен порівняти перший елемент (і будь-який інший елемент) до його аналогу в .Б В Б $A$$B$$B$$A$$A$$B$$B$$A$$A$

Це означає , що якщо і містять ті ж самі елементи, то після перевірки цього алгоритм знає відсортоване порядок . Значить, воно повинно мати принаймнірізні листя, і тому потрібен час .Б А н ! Ω ( n журналу n $A$$B$$A$$n!$$\Omega(n\log n)$

Ця відповідь розглядає іншу модель обчислення: модель одиничної вартості оперативної пам'яті. У цій моделі машинні слова мають розмір , а операції над ними займають час. Для простоти ми також припускаємо, що кожен елемент масиву вписується в одне машинне слово (і так є не більше за величиною).O ( 1 ) n O ( 1 $O(\log n)$$O(1)$$n^{O(1)}$

Ми побудуємо лінійний рандомізований алгоритм за часом з односторонньою помилкою (алгоритм може оголосити два масиви, що містять однакові елементи, навіть якщо це не так) для більш складної проблеми визначення, чи є два масиви і містять однакові елементи. (Ми не вимагаємо сортування жодного з них.) Наш алгоритм зробить помилку з вірогідністю не більше .b 1 , … , b n 1 /$a_1,\ldots,a_n$$b_1,\ldots,b_n$$1/n$

Ідея полягає в тому, що наступна ідентичність має значення, якщо масиви містять однакові елементи: Обчислення цих многочленів точно займе занадто багато часу. Замість цього ми вибираємо випадковий простийpта випадковийx0і перевіряємо, чи n ∏ i = 1 (x0-ai)≡ n ∏ i = 1 (x0

$$\prod_{i=1}^n (x-a_i) = \prod_{i=1}^n (x-b_i).$$ $p$$x_0$ Якщо масиви рівні, тест завжди пройде, тож давайте зосередимось на випадках, коли масиви різні. Зокрема, деякий коефіцієнт ∏ n i = 1 ( x - a i ) - ∏ n i = 1 ( x - b i ) є ненульовим. Оскільки a i , b i мають величину n O ( 1 ) , цей коефіцієнт має величину 2 n n O $$\prod_{i=1}^n (x_0-a_i) \equiv \prod_{i=1}^n (x_0-b_i) \pmod{p}.$$ $\prod_{i=1}^n (x-a_i) - \prod_{i=1}^n (x-b_i)$$a_i,b_i$$n^{O(1)}$ , і тому він має щонайбільшеO(n)простих коефіцієнтів розміруΩ(n). Це означає, що якщо ми виберемо набір щонайменше n 2 простихрозмірівpрозміром принаймні n 2 (скажімо), то для випадкового простогоpцього множини він матиме ймовірність принаймні1-1 / n,що n ∏ i = 1 (x- a i$2^n n^{O(n)} = n^{O(n)}$$O(n)$$\Omega(n)$$n^2$$p$$n^2$$p$$1-1/n$ Випадковий х 0 по модулю р спостерігатиме це з імовірністю 1 - п / р ≥ 1 - 1 / п (такмногочлен ступенявище п має не більше п коренів). $$\prod_{i=1}^n (x-a_i) - \prod_{i=1}^n (x-b_i) \not\equiv 0 \pmod{p}.$$ $x_0$$p$$1-n/p \geq 1-1/n$$n$$n$

На закінчення, якщо ми виберемо випадковий розміром приблизно n 2 серед набору принаймні n 2 різних простих чисел і випадкового x 0 по модулю p , то коли масиви не містять однакових елементів, наш тест не завершиться ймовірність 1 - O ( 1 / n ) . На виконання тесту потрібно час O ( n ), оскільки р вписується в постійну кількість машинних слів.$p$$n^2$$n^2$$x_0$$p$$1-O(1/n)$$O(n)$$p$

$n^2$$\Omega(1/\log n)$$p$$(\log n)^{O(1)}$$x_0$$p$$x_0$

$O(n)$$1-O(1/n)$$1-O(1/n^C)$$C$

я запропоную інший алгоритм (або принаймні схему такого алгоритму)

$[min,max]$

1. $O(n)$minmax

2. Відняти значення minз усіх значень з обох масивів (тут той факт, що один масив уже в упорядкованому порядку не враховується, імовірно, це може бути покращено)

3. $1$$c > 1$

4. max-min$O((max-min)n)$

зауважте, що наведена вище схема алгоритму може бути (детермінованою) досить швидкою у багатьох практичних ситуаціях.

Наведена вище схема алгоритму є варіацією алгоритму сортування лінійного часу, використовуючи " рухомі маси ". Фізична інтуїція за алгоритмом сортування рухомих мас така:

Припустимо, що значення кожного елемента насправді представляє його масову величину, і уявіть, як упорядкувати всі елементи в рядку і застосувати ту саму силу прискорення.

Тоді кожен предмет переміститься вгору на відстань, пов’язану з його масою, більш масивна, менша відстань, і навпаки. Потім, щоб отримати відсортовані предмети, просто збирайте їх у зворотному порядку за пройденою дистанцією.

$max-min$

У цьому відношенні вищевказаний алгоритм схожий на алгоритми сортування на основі чисельності (наприклад, сортування по радіусу , сортування )

Можна подумати, що цей алгоритм може означати мало, але він показує хоча б одне. Що, " фундаментально ", на фізичному рівні, сортування довільних чисел є операцією лінійного часу за кількістю елементів.