Чому б не взяти одинарне представлення чисел у числових алгоритмах?

Алгоритм псевдополінома часу - це алгоритм, який має поліноміальний час роботи на вхідному значенні (величині), але експоненціальний час роботи на вхідний розмір (кількість біт).

Наприклад , тестування , є чи число є простим чи ні, вимагає через петлю чисел від 2 до п - 1 і перевірити , якщо п мод я дорівнює нулю чи ні. Якщо мод займає час O (1), загальна часова складність буде O (n).$n$$n-1$$n$ $i$

Але якщо дозволити $x$ кількість необхідних бітів, щоб записати вхід, то $x = \log n$ (двійковий), так $n = 2^x$ і час запуску задачі буде O ( $2^x$ ), що є експоненціальним.

Моє запитання полягає в тому, якщо ми розглянемо нерівномірне подання вводу $n$ , то завжди $x=n$ і тоді псевдополіномальний час буде дорівнює складності багаточленного часу. То чому ми ніколи цього не робимо?

Крім того, оскільки існує псевдополіномальний алгоритм часу для рюкзака, приймаючи $x=n$ , рюкзак буде поліноміальним у результаті P = NP

Це означає, що одинарний рюкзак є в P. Це не означає, що рюкзак (з двійковими кодованими числами) знаходиться в P.

Рюкзак, як відомо, завершений NP. Якби ви показали, що рюкзак знаходиться в P, це показало б, що P = NP.

Але ви не показали, що рюкзак є в P. Ви показали, що одинарний рюкзак є в P. Однак не відомо, що одинарний рюкзак є NP-повним (дійсно, стандартна підозра на те, що він, швидше за все, не є NP-повним ). Тому введення одинарного рюкзака в P не означає, що P = NP.

Тож над якою проблемою нам би більше цікавитись, рюкзак чи одинарний рюкзак? Якщо ваша мотивація ґрунтується на практичних питаннях, то відповідь буде залежати від розміру чисел, для яких ви хочете вирішити проблему рюкзака: якщо вони великі, то ви, звичайно, більше дбаєте про рюкзак, ніж одинарний рюкзак. Якщо ваша мотивація ґрунтується на теоретичних питаннях, то ранець, мабуть, цікавіший, оскільки він дозволяє глибше зрозуміти - він дозволяє нам розрізняти розмір проти величини - тоді як одинарний рюкзак заважає нам зробити це розрізненням.

Щоб відповісти на наступне запитання щодо алгоритму динамічного програмування для проблеми рюкзака:

Так, той самий алгоритм динамічного програмування може бути застосований як до рюкзаків, так і до одинарного рюкзака. Час його роботи є многочленом за величиною чисел, але експоненціальним (а не многочленом) у довжині чисел при кодуванні у двійкові. Таким чином, час його роботи є многочленом у довжині входу, коли вхід кодується одинарним, але не є многочленом у довжині входу, коли вхід кодується у двійковій формі. Ось чому ми дійсно розглянути цей алгоритм динамічного програмування бути поліноміальних алгоритмом для одномісний рюкзаку, але НЕ вважаємо , що це поліноміальний алгоритм (бінарної кодуванням) ранець.

Нагадаємо, що ми говоримо, що алгоритм працює в поліноміальний час, якщо його час роботи становить щонайбільше якийсь многочлен довжини вводу, у бітах .

Я відповів би одній дрібницею у відповідь DW:

Я бачив людей, які думають, що оскільки унарний Рюкзак знаходиться в Р, ми можемо використовувати його замість Рюкзака, у якого найкращі поточні алгоритми мають експоненціальний час.

$W=\{w_1, \ldots, w_n\}$$k$$O(nk)$

$O(nk)$

Якщо ви піклуєтесь про проблему в ізоляції, ви можете це зробити. Насправді саме це часто роблять люди в алгоритмах. Складність алгоритмів графіків часто виражається через кількість вершин і кількість ребер, а не розмір рядка, який їх кодує.

Але це лише тоді, коли ми маємо справу з ізольованою проблемою. Це не корисно, коли ми маємо справу з проблемами з різними видами входів. Для графіків ми можемо говорити про час роботи wrt до кількості вершин і ребер. Для Рюкзака ми можемо поговорити про кількість предметів та розмір Рюкзака. Але що робити, якщо ми хочемо поговорити про обидва? Наприклад, коли ми хочемо зменшити між проблемами або обговорити клас задач, що включає довільні проблеми, а не лише ті, у яких вхідний графік. Нам потрібен універсальний параметр входів. Вхід взагалі - це лише рядок, саме ми інтерпретуємо його символи як уніарні числа, двійкові числа, графіки тощо. Для розробки загальної теорії складності алгоритму та задач нам потрібен загальний параметр входів. Розмір вхідних даних є очевидним вибором, і він виявляється досить надійним, що ми можемо побудувати на ньому розумну теорію. Це не єдина можливість. Для штучного ми можемо побудувати теорію на основі$2$

$k$$100$$100$$k$$2^{100}-1$$k$$k$$2^{100}-1$

$n$$n$$p(n)$$k$$p(n)$$k$$2^{p(n)}-1$$k$$k$

$n$$k$

Коротко і просто, я покажу вам, чому.

$Tally$

x = input integer

factors = [];

for i in range(1, x + 1):
    if x % i == 0:
     factors.append(i)

 print(factors)

$x$$x$$O(2^n)$

$Tally/Unary$$O(n)$$x$

x = input tallies

factors = [];

for i in range(1, x + 1):
    if x % i == 0:
     factors.append(i)

 print(factors)

Представлення вводу не змушує код працювати швидше. Незважаючи на те, що 2-й алгоритм справді багаторазовий. Це не дуже практично в пошуку факторів для RSA.