Немає наївних теоретичних моделей поліморфного обчислення лямбда?

У статті Філіпа Вадлера про « Теореми безкоштовно» він у розділі 2 про параметричність заявляє, що

не існує наївних множинно-теоретичних моделей поліморфного обчислення лямбда

У наївній множинно-теоретичній моделі є набори, а функції - множинно-теоретичні функції, що здається розумним. То чому він каже, що немає наївних множинно-теоретичних моделей поліморфного обчислення лямбда?

functional-programming

— МК
джерело

Гаразд, я просто натрапив на цей документ: hal.inria.fr/inria-00076261/document . Мені доведеться орати це.

— МК

Цей документ Рейнольдса - це справді правильний документ для читання! Пропускаючи безліч деталей, це підсумовує: врахуйте data T = K ((T -> Bool) -> Bool). Тоді Tі ((T->Bool)->Bool)є ізоморфними. Якщо у них є модель набору, де ->позначається функціональний простір (як множина), останній має більш високу кардинальність, тому він не може бути ізоморфним T. Отже, у моделі нам потрібно трактувати по- ->різному - наприклад, як простір безперервних функцій.

— чи

Я відповів занадто швидко і відповів неправильним запитанням. Вибач за це. Причина того, що поліморфне обчислення лямбда не має моделі в теорії наївних множин, очевидно, зовсім інша, ніж ця для нетипового обчислення лямбда.

$\Pi_{S\in\mathrm{Set}}S$ $\times$ $\rightarrow$

$\bf 2$ $T=\Pi_X(X\rightarrow {\bf 2})\rightarrow{\bf 2}$ $(T\rightarrow {\bf 2})\rightarrow {\bf 2}$ $\rightarrow$

Зауважимо, що подальший документ Ендрю Пітса " Поліморфізм є теоретичним набором" Конструктивно , дещо скасовує цей висновок, показуючи, що вищезазначене протиріччя можливо побудувати лише в класичній теорії множин і що існує кілька конструктивних теорій множин, в яких поліморфізм може інтерпретуватися звичайними інтерпретаціями просторів та продуктів функцій. Найбільш помітно, що ці "великі продукти" існують в "Ефективних топосах", найбільш повне вступ яких надає Фоа .

— коді
джерело