Чому ФАКТОР в Co-NP?

12

У мене виникають проблеми з обгортанням голови навколо проблем ПРАЙМ, КОМПОЗИТ, ФАКТОР і те, як вони пов'язані за складністю. Я розумію, що PRIME показав, що він знаходиться в тестом на первинність AKS, і я вважаю, що це працює і для COMPOSITE. $P$

Що стосується ФАКТОРА,

F A C T O R = {(m, r) : \exists s such that 1 < s < r and s divides m}

$FACTOR = \{(m,r) :\;\; \exists s \text{ such that} 1<s<r \text{ and } s \text{ divides } m\}$

з того, що я прочитав, здається, що це в . Я бачу, що це в оскільки сертифікат складався б з простого дільника на менше, ніж . Але який саме сертифікат може встановити, що немає такого провідного дільника (у поліномний час)? $NP \cap Co-NP$ $NP$ $m$ $r$

complexity-theory factoring

— Фекіш
джерело

1

Щоб мова була в NP-доказі того, що вхід належить до мови, повинен мати сертифікат, який можна перевірити в поліноміальний час. Це не означає, що існує сертифікат на дані, що не належать до мови, які можна ефективно перевірити.

— саша

2

дивись також NP повний варіант факторингу / Теоретичні інформатики

— vzn

11

Сертифікат на відсутність нетривіального дільника на менший від - це факторизація . Ми можемо перевірити в поліноміальний час, що всі чинники дійсно є простими (оскільки первинність є в P за допомогою тесту первинності AKS ), що їх добуток є , і що всі вони принаймні . $m$ $r$ $m$ $m$ $r$

— Юваль Фільм
джерело

1

Дякую. І чи правильно я розумію, що алгоритм АКС може сказати нам, чи є число простим у поліноміальний час, але якщо воно не є простим, воно не говорить нам про фактори?

— Fequish

1

@Fequish: Якщо це не головне, то AKS не говорить нам про фактори.

2

Як відомо, факторинг не може бути здійснений у поліноміальний час. Найкращий загальновідомий алгоритм має евристичну складність (тут - саме число).

e^{O ((\log n)^{1 / 3} (\log \log n)^{2 / 3})}

$e^{O((\log n)^{1/3}(\log\log n)^{2/3})}$

n

$n$

— Yuval Filmus

5

На додаток до відповіді Юваля: тестування первинності AKS було відкрито в 2002 році. До цього у нас не було алгоритму поліноміального часу, щоб перевірити, чи є число простим. Однак Пратт виявив у 1975 році те, що зараз відомо як Pratt сертифікати на первісність, і довів, що Primes знаходиться в NP. Ми можемо включити ці Pratt-сертифікати первинності для факторів у нашому сертифікаті, щоб показати, що FACTOR знаходиться у coNP замість використання алгоритму AKS для перевірки, чи фактори є простими.

— Денис Панкратов
джерело

3

Сертифікати Пратта у Вікіпедії

— Каве