Найбільша сума, що ділиться на n

Я задав це питання на StackOverflow , але думаю, що тут є більш підходяще місце.

Це проблема від Введення в курс алгоритмів :

У вас є масив з позитивними цілими числами (масив не потрібно сортувати або елементи унікальні). Запропонуйте алгоритм , щоб знайти найбільшу суму елементів, що ділиться на .$a$$n$$O(n)$$n$

Приклад: . Відповідь (з елементами )$a = [6, 1, 13, 4, 9, 8, 25], n = 7$$56$$6, 13, 4, 8, 25$

Порівняно легко знайти його в використовуючи динамічне програмування та зберігаючи найбільшу суму з залишками .$O(n^2)$$0, 1, 2,..., n - 1$

Крім того, якщо ми обмежимо увагу на суміжній послідовності елементів, легко знайти оптимальну таку послідовність за час, зберігаючи часткові суми за модулем : нехай , для кожного залишку запам'ятайте найбільший індекс такий, що , а потім для кожного ви вважаєте де - індекс, що відповідає .n S [ i ] = a [ 0 ] + a [ 1 ] + ⋯ + a [ i ] r j S [ j ] ≡ $O(n)$$n$$S[i]=a[0]+a[1]+\dots + a[i]$$r$$j$i S [ j ] - S [ i ] j r = S [ i ] mod $S[j] \equiv r \pmod{n}$$i$$S[j]-S[i]$$j$$r=S[i] \bmod n$

Але чи існує рішення $O(n)$ -сигналу для загального випадку? Будь-які пропозиції будуть вдячні! Я вважаю, що це має відношення до лінійної алгебри, але я не впевнений, що саме.

Або можна це зробити за $O(n \log n)$ час?

Ось кілька випадкових ідей:

• Алгоритм динамічного програмування можна перевернути, щоб шукати найменшу суму замість найбільшої суми. Ви просто шукаєте суму, що відповідає решті суми всього масиву, замість одного конгруентного до нуля. Якщо ми обробляємо елементи в порядку збільшення, це іноді дозволяє алгоритму динамічного завершення перед обробкою всього масиву.

  Вартість буде якби ми обробили елементи. У цьому алгоритмі немає нижньої межі , оскільки нам не потрібно сортувати всі елементи. Для отримання найменших елементів потрібно лише час .$O(n k)$$k$$\Omega(n \log n)$$O(n \log k)$$k$

• Якщо ми піклувались про множину з великим розміром, замість множини з найбільшою сумою, ми можемо використати множення полінома на основі швидкого фур'є-перетворення для вирішення задачі в час. Аналогічно тому, що робиться в 3SUM, коли діапазон домену обмежений. (Примітка: використовуйте повторне квадратування для здійснення двійкового пошуку, інакше ви отримаєте де - кількість опущених елементів.)$O(n (\log n)^2 (\log \log n))$$O(n k (\log n) (\log \log n))$$k$

• Коли є складовим і майже всі залишки є кратним одному з -х факторів, значне час може бути заощаджено, зосередившись на залишках, які не є кратними цьому фактору.$n$$n$

• Якщо залишок rдуже поширений або є лише декілька залишків, відстеження "наступного відкритого слота, якщо ви почнете звідси і продовжуватимете просуватися вперед r", інформація може заощадити багато сканування на скачки на відкриті місця час.

• Ви можете голити коефіцієнт журналу , лише відстежуючи доступність і використовуючи бітові маски (у перевернутому динамічному алгоритмі), а потім здійснювати зворотне відстеження після досягнення цільового залишку.

• Алгоритм динамічного програмування дуже піддається виконанню паралельно. За допомогою процесора для кожного слота буфера ви можете перейти до . Альтернативно, використовуючи ширину та розділяючи та підкорюючи агрегацію замість ітеративного агрегації, ціна на глибину ланцюга може знизитись до .O ( n 2 ) O ( log 2 n $O(n)$$O(n^2)$$O(\log^2 n)$

• (Meta) Я сильно підозрюю, що проблема, яку вам поставили, стосується суміжних сум. Якщо ви пов’язані з реальною проблемою, це було б легко перевірити. Інакше я дуже здивований тим, наскільки складно ця проблема, враховуючи, що вона була призначена в курсі під назвою "Вступ до алгоритмів". Але, можливо, ви накрили трюк у класі, який робить його банальним.

Мій запропонований алгоритм виглядає так:

Сума ділиться на n, якщо ви додасте лише зведення, кратні n.

Перш ніж почати, ви створите хешмап з int як ключовим і списком індексів як значення. Ви також створюєте список результатів, що містить індекси.

Потім ви переходите через масив і додаєте кожен індекс, який n n дорівнює нулю, до списку результатів. Для кожного іншого індексу виконайте такі дії:

Ви віднімаєте значення mod n цього індексу від n. Цей результат є ключовим для вашої хешмапу, який зберігає індекси для елементів із необхідним значенням. Тепер ви додаєте цей індекс до списку в хешмапі та рухаєтесь далі.

Після того, як ви закінчили циклічне перетворення масиву, ви обчислюєте вихід. Це ви робите, сортуючи кожен список у хешмапі відповідно до значення, на яке вказує індекс. Тепер ви розглядаєте кожну пару в хешмапі, підсумовуючи до n. Отже, якщо n = 7, ви шукаєте хешмап для 3 і 4. Якщо ви отримали запис в обох, ви берете два найбільші значення, видаліть їх зі своїх списків і додайте їх у свій список результатів.

Остання рекомендація: все ще не перевіряли алгоритм, пишіть контрольну скриньку проти нього, використовуючи алгоритм грубої сили.

використовуйте цей метод DP від ​​( /programming/4487438/maximum-sum-of-non-consecutive-elements?rq=1 ):

Враховуючи масив A [0..n], нехай M (i) є оптимальним рішенням, використовуючи елементи з індексами 0..i. Тоді M (-1) = 0 (використовується в рецидиві), M (0) = A [0], і M (i) = max (M (i - 1), M (i - 2) + A [i ]) для i = 1, ..., n. M (n) - це рішення, яке ми хочемо. Це O (n) . Ви можете використовувати інший масив, щоб зберігати, який вибір робиться для кожної підпрограми, і таким чином відновити вибрані фактичні елементи.

Змініть рекурсію на M (i) = max (M (i - 1), M (i - 2) + A [i]) таким, що зберігається лише у тому випадку, якщо її ділиться на N