Випадкова розтоплена купа - очікувана висота

Рандомізовані розплавні куби мають операцію "meld", яку ми потім використовуємо для визначення всіх інших операцій, включаючи вставку.

Питання в тому, яка очікувана висота дерева з вузлами? $n$

Теорема 1 Гамбіна та Малінковського, чергові черги з рандомізованим розточуванням (Праці SOFSEM 1998, Записки лекцій з інформатики, т. 1521, с. 344–349, 1998; PDF ) дає відповідь на це запитання з підтвердженням. Однак я не розумію, чому ми можемо писати:

E [h_{Q}] = \frac{1}{2} ((1 + E [h_{Q_{L}}]) + (1 + E [h_{Q_{R}}])) .

$\mathbb{E} [ h_Q] = \frac{1}{2} ((1 + \mathbb{E}[h_{Q_L}]) + (1 + \mathbb{E}[h_{Q_R}]))\,.$

Для мене висота дерева така

h_{Q} = 1 + max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}},

$h_Q = 1 + \max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}\,,$

яку я можу розгорнути до:

E [h_{Q}] = 1 + E [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}}] = 1 + \sum k P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k] .

$\mathbb{E} [ h_Q] = 1 + \mathbb{E}[\max \,\{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}] = 1 + \sum k \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k]\,.$

Ймовірність того, що максимум висоти двох підрядів дорівнює $k$ можна переписати, використовуючи закон повної ймовірності:

\begin{aligned} P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k] \\ = P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] \\ = P [h_{Q_{R}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [h_{Q_{L}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] . \end{aligned}

$\begin{align*} \hspace{2em}&\hspace{-2em} \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k] \\ &= \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L}\leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em} + \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \\ &= \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,. \end{align*}$

Тож наприкінці я отримую:

\begin{aligned} E [h_{Q}] & = 1 + \sum k {P [h_{Q_{R}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [h_{Q_{L}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}]} . \end{aligned}

$\begin{align*}\mathbb{E} [ h_Q] &= 1 + \sum k \{ \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \}\,. \end{align*}$

Тут я застряг. Я бачу, що є більш-менш рівним (Однак нам потрібно не більше ) . Але крім того, що нічого не веде до формули з самого початку. $\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]$ $\frac{1}{2}$ $\leq \frac{1}{2}$

Висоти підкреслень мені не здаються незалежними.

Дякуємо за допомогу.

— Матеуш Вишинський
джерело

У папері - не висота. Це довжина випадкової прогулянки від кореня у повному двійковому дереві (вони наполягають, що кожен лист "нульовий"), тому вираз у них є правильним. $h_Q$

Також ви можете уникнути індукції. Ймовірність закінчення на конкретному листі глибини становить всього . Тож очікувана тривалість прогулянки така $d$ $2^{-d}$

\sum_{ℓ \in leaves (Q)} depth (ℓ) 2^{- depth (ℓ)}

$\sum_{\ell\in \text{leaves}(Q)} \text{depth}(\ell)2^{-\text{depth}(\ell)}$

яка ентропія розподілу набір розмірів. $|\text{leaves}(Q)|$

— Луї
джерело

Не могли б ви пояснити більш детально, чому мені не доведеться використовувати індукцію? Я згоден з формулою очікуваної довжини. Я просто не бачу, чому це повинно бути O (вхід)? Що ви маєте на увазі під ентропією розподілу на рядках?

— Матеуш Вишинський

Оскільки ентропія розподілу на множині розміру як відомо, максимізується рівномірним розподілом, в цьому випадку це .

n

$n$

\log n

$\log n$

— Луї