Конструктивна версія рішучості?

Сьогодні на обід я підняв це питання разом із колегами, і на моє здивування, аргумент Джеффа Е. про те, що проблема вирішується, не переконав їх ( ось тісно пов'язаний пост про математичний потік). Вирішення проблеми, яке простіше пояснити ("це P = NP?"), Також вирішується: або так, ні, і одна з двох ТМ, які завжди виводять ці відповіді, вирішує проблему. Формально ми можемо вирішити набір : або машина, яка виводить лише для введення інакше вирішує це, або машина, яка робить це для введення .$S :=\{|\{P, NP\}|\}$$1$$1$$0$$2$

Один з них зводив це в основному до цього заперечення: якщо настільки слабкий критерій рішучості - що означає, що кожне питання, яке ми можемо формалізувати як мову, яке ми можемо показати, що є кінцевим, є вирішальним - тоді ми повинні формалізувати критерій, що не створює жодних проблем з кінцево багатьма можливими відповідями, які формалізуються таким чином вирішуваним. Хоча наступне, можливо, є більш сильним критерієм, я припустив, що, можливо, це можна зробити точним, вимагаючи, щоб рішучість повинна залежати від того, чи можна показати TM, в основному пропонуючи інтуїціоністський погляд на цю справу (до якої я не схиляюся - ні чи хтось із моїх колег, усі вони приймають закон виключеної середини).

Чи формалізували люди та, можливо, вивчили конструктивну теорію рішення?

Я думаю, що питання, яке ви намагаєтеся задати, - це "теорія обчислюваності конструктивна?". І це цікаве запитання, як ви можете побачити під час цього обговорення у списку розсилки "Основи математики".

Не дивно, що це було враховано, оскільки багато теорії рекурсії були розроблені людьми з конструктивними чуттєвостями і навпаки. Дивіться, наприклад , книгу Бессона та поважний вступ до метаматематики . Цілком зрозуміло, що перші кілька розділів теорії рекурсії виживають, переходячи до конструктивної установки з мінімальними змінами: наприклад, теорема snm, теорема Райса або теорема рекурсії Клінова виживають без змін.

Однак після перших розділів все стає дещо жорсткішим. Зокрема, вищі рівні арифметичної ієрархії зазвичай визначаються поняттям істини. Зокрема, широко використовувані теореми, такі як теорема про низькі основи, здаються явно неконструктивними.

Можливо, більш прагматична відповідь полягає в тому, що ці "парадоксально обчислювані мови" - це просто ідіосинкразія, яку можна (і вже було!) Вивчати дуже довго, як не вимірювані набори дій, але що колись початковий сюрприз був долаючи, можна переходити до більш цікавих речей.

У класичній логіці кожне твердження є правдивим або хибним у будь-якій даній моделі. Наприклад, будь-яке твердження першого порядку про натуральні числа є "істинним або хибним" у "реальному світі" (відоме в цьому контексті як справжня арифметика ). Що тоді з теоремою про незавершеність Геделя? Він просто констатує, що жодна рекурсивно чисельна аксіоматизація справжньої арифметики не завершена.

Щодо vs. , більшість дослідників вважають, що , деякі з яких , і жменя розважають віра в те, що вона не залежить від (скажімо) ZFC. Припустимо, ви готові визнати, що насправді це не залежить від ZFC (так само, як ви готові визнати, що ZFC в першу чергу відповідає). У цьому випадку існує цілком явна машина Тьюрінга, яка обчислює вашу мову. Машина шукає доказ або або доки не знайдеться, а потім продовжить відповідним чином. Ми можемо довести$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ що ця машина приймає вашу мову, хоча ми все ще не знаємо, що це за мова!

Якщо ви не готові визнати, що вирішує ZFC, ви все одно можете запитати, чи існує явна машина Тьюрінга, яка приймає вашу мову. Я залишаю це хвилююче запитання зацікавленому читачеві.$\mathsf{P} \stackrel{?}{=} \mathsf{NP}$

(відмова, нечітка відповідь на нечітке запитання, яке, можливо, краще вписується в cstheory ). конструктивність - це «велика справа» в теоретичній математиці, але вона проявляється особливо в безперервних контекстах, таких як напіввідомий парадокс Банах- Тарскі . ці парадокси, як правило, поки що не виявляються у "більш дискретних" КС " . так що таке (аналог / паралель) конструктивність у CS? відповідь здається не такою однозначною. його концепція, що бере початок у математичному дослідженні більше, ніж CS, і два не здаються пов'язаними на цьому конкретному суті занадто багато "поки" .

одна відповідь полягає в тому, що теорія розв'язуваності насправді здається різницею в конструктивності, тобто це суворий метод визначення, які множини можна обчислити, які, здається, тісно пов'язані.

Конструктивність у самому серці розглядає деякі питання "незалежності від ZFC", і ці області розглянуті в цій статті детально Aaronson wrt P проти NP, чи P проти NP формально незалежний? .

насправді не показано, що «парадокси», схоже, вказують на проблеми конструктивності, але можна сприймати це як грубе керівництво для грубої аналогії, як у статті Аронсонса, де він вважає, наприклад, результати оракула, які, здається, мають певний «парадоксальний» смак, зокрема Бейкера Гілл Соловея 1975 результат , який існує оракули і таке , що Р = NP і Р ^B ≠ NP ^В . Іншим парадоксальним, наприклад, thms, є теорія про розрив Блума та швидкість .

також чи просто збіг обставин, що CS в своїх основоположних теоремах часової / просторової ієрархії фокусується на конструюваних функціях "час / простір" ? (які потім виключають парадокси Блума майже "за задумом" ?)

Інша відповідь полягає в тому, що це відбувається під активним розслідуванням / дослідженням, наприклад, як у цьому висновку. Конструктивність, як відомо, пов'язана з "великими кардиналами" в математиці: Виграючі стратегії для нескінченних ігор: від великих кардиналів до інформатики / Рессайєр.

Використовуючи велику кардинальну аксіому "гострих", Мартін довів аналітичну рішучість: існування виграшної стратегії для одного з гравців у кожній нескінченній грі ідеальної інформації між двома гравцями за умови виграшного набору одного з гравців стане аналітиком один. Я видозмінюю і доповнюю його докази, щоб отримати новий доказ теореми Рабіна, Буечі-Ландвебера, Гуревича-Гаррінгтона про кінцеву визначеність стану: існування виграшної стратегії, обчисленої машиною скінченного стану, коли виграшні набори гравця самі є кінцевими держава прийнята.