Залишковий графік в максимальному потоці

14

Я читав про максимальний потік Проблемі тут . Я не міг зрозуміти інтуїцію за Залишковим графіком. Чому ми розглядаємо задні ребра під час обчислення потоку?

Чи може хто-небудь допомогти мені зрозуміти концепцію залишкового графіка?

Як змінюється алгоритм у непрямих графіках?

— csds
джерело

28

Інтуїція, що відображає залишковий графік у задачі про максимальний потік , дуже добре представлена в цій лекції. Пояснення йде наступним чином.

Припустимо, що ми намагаємося вирішити задачу максимального потоку для наступної мережі $G$ (де кожна мітка $f_e/c_e$ позначає як потік $f_e$ просунутий через край $e$ і ємність $c_e$ цього краю):

Один з можливих жадібних підходів полягає в наступному:

Виберіть довільний збільшує шлях , який йде від джерела вершин к стене вершина таким чином, що $P$ $s$ $t$ ); тобто всі ребра в мають доступну ємність. $\forall e \: (e \in P \rightarrow f_e \lt c_e$ $P$
$\Delta$ $\Delta$ $P$ $\Delta=\min_{e \in P} (c_e-f_e)$
Перейдіть до кроку 1, поки не існує шляхів розширення.

Тобто знайдіть шлях із наявною потужністю, надішліть потік по цьому шляху і повторіть.

У , одне можливе виконання вищевказаних евристичних знаходить у цьому порядку три шляхи збільшення , та . Ці шляхи висувають 2, 2 і 1 одиницю потоку відповідно для загального потоку 5: $G$ $P_1$ $P_2$ $P_3$

Вибір шляхів у такому порядку веде до оптимального рішення; однак, що станеться, якщо ми спочатку (тобто перед та )? $P_3$ $P_1$ $P_2$

Ми отримуємо те, що називається блокуючим потоком : більше шляхів розширення не існує. У цьому випадку загальний витрата становить 3, що не є оптимальним. Цю проблему можна вирішити, якщо дозволити операції скасування (тобто, дозволяючи надсилати потік у зворотному порядку, скасовуючи роботу попередніх ітерацій): просто натисніть на 2 одиниці потоку назад від вершини до вершини так: $w$ $v$

Кодування цих дозволених операцій скасування є основною метою залишкового графіка .

Залишковий графік мережі має той самий набір вершин, що і і включає для кожного краю : $R$ $G$ $G$ $e=(u,v) \in G$

Передній край ємністю , якщо . $e'=(u,v)$ $c_e-f_e$ $c_e-f_e \gt 0$
край ємністю , якщо . $e''=(v,u)$ $f_e$ $f_e \gt 0$

Наприклад, розглянемо залишковий графік , отриманий після першої ітерації евристики, коли евристичний спочатку вибирає (тобто коли він отримує блокуючий потік): $R$ $P_3$

Зауважте, що операція скасування, яка висуває 2 одиниці потоку від до , кодується як прямий (збільшуючий) шлях від до в : $w$ $v$ $s$ $t$ $R$

В загальному:

Коли в залишковому графіку вибрано шлях збільшення : $P'$ $R$

Кожне ребро в яке відповідає передньому краю в збільшує потік, використовуючи ребро з наявною ємністю. $P'$ $G$

Кожне ребро в яке відповідає ребру, що йде назад, у відміняє потік, який був відсунутий у напрямку вперед в минулому. $P'$ $G$

Це головна ідея методу Форда – Фулкерсона .

Метод Форда – Фулкерсона протікає точно так само, як описаний вище жадібний підхід, але він зупиняється лише тоді, коли в залишковому графіку немає більше шляхів розширення (не в початковій мережі). Метод правильний (тобто він завжди обчислює максимальний потік), оскільки залишковий графік встановлює таку умову оптимальності :

Враховуючи мережу , потік є максимальним у якщо в залишковому графіку немає шляху. $G$ $f$ $G$ $s-t$

— Маріо Червера
джерело

Чи є приклад, коли шляхи додаються в порядку найменшої довжини, як описано в алгоритмі Едмондса-Карпа? У вашому зустрічному прикладі перший шлях - це довжина 3, тоді як коротший (тобто 2) шлях можна знайти, і він буде доданий першим, якщо ми робимо Edmonds-Karp.

— Рой

Ви можете просто зробити все доріжка в вихідному графі має довжину . Для цього розділіть вершину на дві вершини та . Потім розділіть на і . Додайте також два ребра та ємністю . Край, який спочатку йшов від до , тепер перейде від до . Ми можемо отримати той самий вид блокування потоку, якщо спочатку обрати шлях, який містить край .

s - t

$s-t$

3

$3$

v

$v$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

w

$w$

w_{1}

$w_1$

w_{2}

$w_2$

(v_{1}, v_{2})

$(v_1,v_2)$

(w_{1}, w_{2})

$(w_1,w_2)$

2

$2$

v

$v$

w

$w$

v_{1}

$v_1$

w_{2}

$w_2$

(v_{1}, w_{2})

$(v_1,w_2)$

— Маріо Червера

Ваш приклад має сенс. Ми завжди можемо розширити графік на інші краї в розрізі, щоб зробити відповідний край на одному з найкоротших шляхів.

— Рой

3

Інтуїція за залишковою мережею полягає в тому, що вона дозволяє нам "скасувати" вже призначений потік, тобто якщо ми вже призначили 2 одиниці потоку від до , то передача 1 одиниці потоку від до тлумачиться як скасування однієї одиниці вихідного потоку від до . $A$ $B$ $B$ $A$ $A$ $B$

— Банах Тарскі
джерело