Причина, що це не автоматична теорема, що "рішення важке, означає, що підрахунок важкий", полягає в тому, що в цих двох твердженнях використовуються різні визначення поняття "важко".
Проблема з рішенням є важкою, якщо це NP- незавершене під час поліноміального часу багато-одного скорочення (також скорочення Карпа, також скорочення поліноміального часу).
Проблема підрахунку є складною, якщо вона є #P -комплектною за скороченнями Тюрінга в поліномічному часі (так само скорочення Кука).
Таким чином, якщо проблема рішення є NP- незавершеною, ми знаємо, що відповідна проблема підрахунку є NP- твердою, але це не визначення того, що є важкою проблемою підрахунку. Будучи #P -комплектним, здається, набагато сильнішим твердженням, ніж просто NP- твердий - Тода показав, що #P -повні проблеми важкі для всієї ієрархії поліномів при рандомізованих скороченнях, тому, як клас складності, #P відчуває себе набагато ближче до PSPACE, ніж до NP .
Рух в напрямку , протилежному, це явно вірно , що, якщо проблема підрахунку легко в тому сенсі, що в ФП , то задача рішення в P . Зрештою, якщо ви зможете ефективно порахувати, ви, безсумнівно, можете сказати, чи відповідь є ненульовою. Однак тільки те, що версія для підрахунку "не є складною" (тобто не #P -комплект ), не означає, що вона "проста" (тобто у FP ). Теорема Леднера поширюється на # P, тож якщо FP ** # P **, то між ними існує нескінченна ієрархія різних класів складності, щоб наша "неважка" проблема підрахунку могла бути повною для будь-якої з них заняття і, отже, не бути "легким" ≠
Сказавши це, я не думаю, що у нас є протилежні приклади припущення, що проблема рішення, що є NP- завершеною, означає, що версія підрахунку є #P -повною . Отже, це не теорема, але це емпірично правда.