Ефективне введення в список, зберігаючи кількість інверсій мінімальною

Припустимо два списки порівняних предметів: u та s. Нехай INV (u) - кількість перетворень u.

Я шукаю ефективний алгоритм для вставки елементів s в u з мінімальним збільшенням INV (u).

В основному я хотів би вставити об'єкти до списку, зберігаючи його "якомога більше сортованим", зберігаючи порядок першого списку.

Приклад:

u = [4,6,2,9,7]
INV(u) = 3 ((4, 2), (6, 2) and (9, 7)

s = [8,3,10]

one optimal solution u' = [3, 4, 6, 2, 8, 9, 7, 10]
INV(u') = 5 ((4, 2), (7, 2) and (9, 7) + (3,2), (8,7))

different optimal solution u' = [3, 4, 6, 2, 9, 7, 8, 10]
INV(u') = 5 ((4, 2), (7, 2) and (9, 7) + (3,2), (9,8))

Як бачите, не існує єдиного оптимального рішення.

Я буду радий будь-яким ідеям чи напрямкам, які слід вивчити.

Це розробка відповіді тревор. Це занадто довго, щоб вмістити коментар і містить докази його рішення (або принаймні, як я це розумію).

Ви можете показати, що в будь-якому оптимальному рішенні елементи з'являться впорядкованими. $s$Якщо ні, припустимо, що і вони відображаються в зворотному порядку в оптимальному рішенні. Нехай σ 1 - кількість елементів між s 1 і s 2 , меншими ніж s 1, і β 1 - число тих, що більше s 1 . Визначте σ 2 і β 2 аналогічно для s 2 . Зауважимо, що σ 1 $s_1 < s_2$$\sigma_1$$s_1$$s_2$$s_1$$\beta_1$$s_1$$\sigma_2$$\beta_2$$s_2$ і β 2 ≤ β 1 . Перестановка з 1 і їв 2 буде змінити кількість інверсій по - р 1 + β 2 - σ 2 + σ 1 - 1 , який є не більше-1.$\sigma_1 \leq \sigma_2$$\beta_2 \leq \beta_1$$s_1$$s_2$$-\beta_1 + \beta_2 - \sigma_2 + \sigma_1 - 1$

$s$$s$$s$$s$$s$ менші від медіани зліва від медіани та елементи, більші за медіану праворуч.

$k$$T(|s|, |u|) = T(|s| / 2, |u| - k) + T(|s| / 2, k) + |u| + |s|$$|s|$$s$$T(|s|, |u|) = O(|s| \log |s| + |u| \log |s|)$

$|s|$$u$$s$$|u|$$s$$u$

Гаразд, ось моє рішення:

Спостереження (яке я більш-менш довів) полягає в тому, що оптимальним рішенням завжди буде те, в якому s сортується за зростанням. Це породжує алгоритм O ((| u | + | s |) * log (| s |)).

Щоб знайти оптимальне рішення для одного елемента, виконайте, як я вже говорив у коментарі: Візьміть один елемент з s, порівняйте його з кожним елементом u u зліва направо, збільшення лічильника є інверсією та перенесіть раніше обчислене число. Потім перейдіть список праворуч наліво тим самим елементом, збільшуючи кількість підрахунків для кожної позиції.

Це О (| u |).

Сортувати s.

Для середнього елемента s у положенні m: Знайдіть найкраще положення b in u (використовуючи метод зверху).

Розділіть s на m і u на b і рекурсивно дзвоніть лівою та правою частинами, з'єднуючи результати з m у правильному порядку.

Зупиніться, як тільки u або s порожні.