Стиснення двох цілих чисел, не враховуючи порядок

Якщо порівнювати впорядковану пару (x, y) з не упорядкованою парою {x, y} (безліч), то теоретично інформація є різницею лише в одному біті, тому що, якщо x приходить першим, або y потрібен рівно один біт для представлення.

Отже, якщо нам задають набір {x, y}, де x, y - це два різних 32-бітових цілих числа, чи можемо ми спакувати їх у 63 біти (а не 64)? Повинно бути можливим відновити початкові 32-бітні цілі числа з результату 63 біт, але без можливості відновити їх порядок.

Так, можна. Якщо , наведіть набір на число{ x , y $x<y$$\{x,y\}$

Неважко показати, що бієктивна, і тому це можна однозначно розшифрувати. Також, коли 0 ≤ x < y < 2 32 , маємо 0 ≤ f ( x , y ) < 2 63 - 2 31 , тому це відображає множину { x , y } на 63-бітове число f ( x , y ) . Для розшифровки можна використовувати двійковий пошук на y або взяти квадратний корінь: y має бути приблизно ⌊$f$$0 \le x < y < 2^{32}$$0 \le f(x,y) < 2^{63} - 2^{31}$$\{x,y\}$$f(x,y)$$y$$y$.$\lfloor \sqrt{2 f(x,y)} \rfloor$

Як додаток до відповіді DW, зауважимо, що це окремий випадок Комбінаторної системи чисел , яка компактно відображає суворо зменшується послідовність невід’ємних цілих чисел c k > ⋯ > c 1 до N = k ∑ i = 1 ( c $k$$c_k > \cdots > c_1$

Це число має просте тлумачення. Якщо ми упорядкуємо ці послідовності лексикографічно, то підраховує кількість менших послідовностей.$N$

Для декодування просто призначте найбільше значення, таке що ( c $c_k$і декодуємоN- ( c$\binom{c_k}{k} \leq N$ як a(k-1)-наслідок.$N - \binom{c_k}{k}$$(k-1)$

Загальна кількість невпорядкованих пар чисел у наборі дорівнює N ( N + 1 ) / 2 . Загальна кількість не упорядкованих пар різних чисел становить N ( N - 1 ) / 2 . Це займає 2 журналу 2 ( N ) = увійти 2 ( N 2 ) біта для представлення впорядкованої пари чисел, і якщо ви маєте один менше біт, ви можете представляти елементи простору до N 2 /$N$$N(N+1)/2$$N(N-1)/2$$2 \log_2(N) = \log_2(N^2)$$N^2/2$. Кількість не упорядкованих не обов'язково розрізнених пар трохи більше половини кількості впорядкованих пар, тому ви не можете трохи заощадити в поданні; кількість не упорядкованих окремих пар трохи менше половини, тому ви можете трохи заощадити.

Для практичної схеми, яку легко обчислити, має потужність 2, ви можете працювати над бітовим поданням. Візьміть a = x ⊕ y, де ⊕ - оператор XOR (бітовий ексклюзив або). Пару { x , y } можна відновити з ( a , x ) або ( a , y ) . Тепер ми шукатимемо хитрість, щоб зберегти один біт у другій частині, і надамо симетричну роль x і $N$$a = x \oplus y$$\oplus$$\{x,y\}$$(a, x)$$(a, y)$$x$$y$щоб замовлення не вдалося відновити. Зважаючи на обчислення кардинальності вище, ми знаємо, що ця схема не працюватиме у випадку, коли .$x=y$

Якщо то там є якесь бітове положення, де вони відрізняються. Я напишу x i для i- го біта x (тобто x = ∑ i x i 2 i ), а також y . Нехай k займає найменше бітове положення, де х і у різняться: k - найменше i таке, що x i ≠ y i . k - найменший i такий, що a i$x \ne y$$x_i$$i$$x$$x = \sum_i x_i 2^i$$y$$k$$x$$y$$k$$i$$x_i \ne y_i$$k$$i$$a_i = 1$$k$$a$$b$$x$$y$$k$$b = \sum_{i<k} x_i 2^i + \sum_{i>k} x_i 2^{i-1}$$b = \sum_{i<k} y_i 2^i + \sum_{i>k} y_i 2^{i-1}$) — to make the construction symmetric, pick $x$ if $x_k=0$ and $y_k=1$, and pick $y$ if $x_k=1$ and $y_k=0$. Use $(a,b)$ as the compact representation of the pair. The original pair can be recovered by computing the lowest-order bit that is set in $a$, inserting a 0 bit at this position in $b$ (yielding one of $x$ or $y$), and taking the xor of that number with $a$ (yielding the other element of the pair).

In this representation, $a$ can be any nonzero number, and $b$ can be any number with half the range. This is a sanity check: we get exactly the expected number of representations of unordered pairs.

In pseudocode, with ^, &, |, <<, >>, ~ being C-like bitwise operators (xor, and, or, left-shift, right-shift, complement):

encode(x, y) =
  let a = x ^ y
  let k = lowest_set_bit_position(a)
  let low_mask = (1 << k) - 1
  let z = if x & (1 << k) = 0 then x else y
  return (a, (z & low_mask) | (z & ~low_mask) >> 1)
decode(a, b) =
  let k = lowest_set_bit_position(a)
  let low_mask = (1 << k) - 1
  let x = (b & low_mask) | ((b & ~low_mask) << 1)
  return (x, a ^ x)

A nonconstructive proof: there are $(2^{32}\times 2^{32} - 2^{32})/2 = 2^{31}(2^{32}-1)<2^{63}$ unordered pairs of different 32-bit integers.