Які функції можна обчислити вирази обчислювача комбінатора?

Вираз комбінатора (скажімо, на основі SK) можна розглядати як функцію, яка відображає вирази числення комбінатора на вирази числення комбінатора. Тобто вираз можна розглядати як функцію X : L → L , де L - сукупність усіх синтаксично дійсних виразів комбінатора в основі SK. Це відображення виконується шляхом застосування вводу до виразу, а потім зменшення до нормальної форми для отримання виводу.$X$$X:L \to L$$L$

Так як основа SK є Тьюринга, можна було б наївним думати , що існує SK вираз , який реалізує будь-обчислюваної функції від L до L . Однак це явно не так, оскільки результат зменшення завжди буде у звичайній формі. Це означає, що немає жодного способу для виразу мати вихід, який не знаходиться в нормальній формі.$X$$L$$L$

Тому замість цього я міг би вважати вирази обчислення SK як відображення до L ' , де L ' - це набір виразів SK у нормальній формі. Чи буває так, що для будь-якої обчислюваної карти f : L ′ → L ′ існує вираз SK X, який реалізує цю карту? Або є додаткові обмеження щодо набору функцій, які можна обчислити виразами обчислення комбінатора таким чином?$L'$$L'$$L'$$f:L'\to L'$$X$

$\lambda$$L'\to L'$

$\delta:L'^2\to L'$

$$\delta(M, N) = \cases{\mathrm{True}\mbox{ if }M=_{\beta\eta}N\\ \mathrm{False}\mbox{ otherwise}}$$ $\lambda$$D$ $$D\ M\ N =_{\beta\eta} \delta(M,N)$$ $M,N\in L'$

$F$$n\in\mathbb{N}$$P_1,\ldots,P_n$

$$F\ x\ P_1\ldots P_n =_{\beta\eta} x\ Q_1\ldots Q_k$$

$k$$Q_1,\ldots,Q_k$$D$$\delta$$D$