Як довести, що ДФА від НФА можуть мати експоненціальну кількість штатів?

Усі недетерміновані кінцеві автомати можуть бути перетворені на еквівалентні детерміновані кінцеві автомати. Однак детерміновані кінцеві автомати дозволяють лише одну стрілку на символ, що вказує на стан. Тому його держави повинні бути членами владної сукупності штатів NFA. Це, мабуть, вказує на те, що кількість штатів ДФА може масштабуватися експоненціально з точки зору кількості штатів НФА. Однак мені було цікаво, як насправді це довести.

Одна операція, яка перетворює NFA в іншу NFA, але не робить цього для DFA, є переворотом (наведіть усі стрілки навпаки, і поміняйте початкові стани на приймаючі стани). Мова, розпізнавана трансформованим автоматом, - це перетворена мова $L^R = \{u_{n-1}\ldots u_0 \mid u_0\ldots u_{n-1} \in L\}$ .

Таким чином, одна ідея полягає у пошуку мови, яка має асиметричну конструкцію. Вперед, цю мову слід розпізнати, перевіривши перші символів, вимагаючи лише n + O ( 1 ) станів. Ідучи назад, слід зберігати пам'ять про останні n станів, для чого потрібні стани A n + O ( 1 ), де A - розмір алфавіту.$n$$n + O(1)$$n$$A^n + O(1)$$A$

Ми шукаємо мову форми де M n складається зі слів довжини n , S - нетривіальний підмножина алфавіту, а M ' не надає жодних додаткових обмежень. Ми можемо також вибрати найпростіший алфавіт A = { a , b } (однофакторний алфавіт не зробить, там ви не отримаєте менших NFA) і M ′ = A ∗ . Нетривіальний S означає $M_n S M'$$M_n$$n$$S$$M'$$\mathscr{A} = \{a,b\}$$M' = \mathscr{A}^*$$S$ . Що стосується$S = \{a\}$ , ми вимагаємо, щоб він не співвідносився з S (так що DFA для перетвореної мови потрібно буде зберігати пам'ять S ): взяти M n = A n .$M_n$$S$$S$$M_n = \mathscr{A}^n$

Нехай . Його розпізнає проста DFA з n + 2 станами.$L_n = (a|b)^n a (a|b)^*$$n+2$

Повернення його дає NFA, який розпізнає .$L_n^R = (a|b)^* a(a|b)^n$

Мінімальна ДКА , який розпізнає має , щонайменше , 2 п + 1 стан. Це тому, що всі слова довжиною 2 n + $L_n^R$$2^{n+1}$$2^{n+1}$ повинні досягати різних станів у DFA. (Іншими словами, вони належать до різних класів еквівалентності Міхілла-Нерода .) Щоб довести це, візьміть два різних слова і нехай k - положення, де вони відрізняються ( u k ≠ v k ). Не втрачаючи загальності, припустимо, що $u,v \in \mathscr{A}^{n+1}$$k$$u_k \ne v_k$ і v k = b . Тоді u b k ∈ L R n і v b k ∉ L R n ( b k - відмінне розширення для u і v ). Якщо u і v призвели до одного і того ж стану в DFA, що розпізнає L R n, то так би u b k і v b $u_k = a$$v_k = b$$u b^k \in L_n^R$$v b^k \notin L_n^R$$b^k$$u$$v$$u$$v$$L_n^R$$u b^k$$v b^k$, що неможливо, оскільки один призводить до стану прийняття, а інший - ні.

Підтвердження: цей приклад наводився у Вікіпедії без пояснень. У цій статті подано посилання на статтю, яку я не читав, яка дає
чіткіше обмеження: Leiss, Ernst (1981), "Коротке представлення регулярних мов булевими автоматами", Theoretical Computer Science 13 (3): 323–330, doi: 10.1016 / S0304-3975 (81) 80005-9 .

Розглянемо наступне сімейство мов: $L_n = \{ x_1, x_2, \ldots, x_k \# x_{k+1}: \exists i \in \{1, \ldots, k\} \text{ with } x_i = x_{k+1} \}$

Алфавіт дорівнює { # , 1 , … , n } .$L_n$$\{\#, 1,\ldots, n \}$

Існує NFA з станами, які розпізнають мову L n . Він має n примірників. У i- й копії ми здогадуємось, що останньою буквою буде i , і перевіряємо нашу здогадку. Конструювати таку копію з 3 станів просто. Єдиний недетермінізм - у початковому стані.$O(n)$$L_n$$n$$i$$i$$3$

Однак не існує DFA, який би розпізнавав з меншими станами 2 O ( n ), оскільки, інтуїтивно, DFA повинен запам'ятати підмножини { 1 , … , n } .$L_n$$2^{O(n)}$$\{1,\ldots, n\}$

Я майже впевнений, що в книзі Сіпсера є такий приклад.

Іншим прикладом є мова всіх слів, які пропускають один символ алфавіту. Якщо алфавіт має розмір , то NFA може «відгадати» вихідний стан і так прийняти мову з n державами. З іншого боку, використовуючи теорему Нерода, легко помітити, що розмір мінімальної DFA для цієї мови становить 2 n .$n$$n$$2^n$

Цей приклад також показує, що НФА можуть зазнати експоненціального вибуху при доповненні. Дійсно, відомо, що будь-яка NFA (або навіть без контексту граматика) для мови всіх слів, що містять усі символи алфавіту, повинна мати експоненціальну кількість станів.