Я намагався пояснити комусь, що C є Тьюрінгом, і зрозумів, що я насправді не знаю, чи справді це технічно Тюрінг-завершений. (З як у абстрактній семантиці, а не як у реальній реалізації.)

Наскільки я можу сказати, "очевидний" відповідь (приблизно: він може адресувати довільний об'єм пам'яті, тому він може імітувати машину оперативної пам'яті, так що це Turing-завершений) насправді не є правильним, начебто стандарт C дозволяє щоб розмір_t був довільно великим, він повинен бути зафіксований на деякій довжині, і незалежно від того, якою довжиною він фіксується, він все ще є кінцевим. (Іншими словами, хоча ви могли, враховуючи довільну зупинку машини Тьюрінга, вибрати довжину size_t такою, щоб вона працювала «належним чином», немає способу вибрати довжину size_t такою, щоб усі машини, що зупиняють Turing, працюватимуть належним чином)

Отже: чи є Т99 Тьюрінг повним?

Я не впевнений, але думаю, що відповідь - ні, з досить тонких причин. Я запитав теоретичні інформатики кілька років тому і не отримав відповіді, що виходить за рамки того, що я тут представлю.

У більшості мов програмування ви можете імітувати машину Тюрінга:

• моделювання скінченного автомата з програмою, яка використовує кінцевий об'єм пам'яті;
• моделювання стрічки з парою пов'язаних списків цілих чисел, що представляють вміст стрічки до і після поточного положення. Переміщення вказівника означає перенесення заголовка одного зі списків на інший список.

Конкретна реалізація, що працює на комп’ютері, втратила б пам’ять, якщо стрічка вийшла занадто довгою, але ідеальна реалізація могла б сумлінно виконати програму машини Тьюрінга. Це можна зробити за допомогою ручки та паперу або придбати комп’ютер з більшою кількістю пам’яті та компілятор, орієнтований на архітектуру з більшою кількістю бітів на слово тощо, якщо у програми колись не вистачає пам’яті.

У C це не працює, оскільки неможливо мати зв’язаний список, який може зростати назавжди: завжди існує певна обмеженість у кількості вузлів.

Щоб пояснити чому, спершу потрібно пояснити, що таке реалізація на C. С насправді сімейство мов програмування. Стандарт ISO C (точніше, конкретна версія цього стандарту) визначає (з рівнем формальності, який дозволяє англійська) синтаксис та семантику сімейства мов програмування. C має багато невизначеної поведінки та визначеної реалізацією поведінки. "Реалізація" C кодифікує всю поведінку, визначену реалізацією (перелік речей, які потрібно кодифікувати, є в додатку J до C99). Кожна реалізація C є окремою мовою програмування. Зауважте, що значення слова "реалізація" є дещо своєрідним: що це насправді означає мовний варіант, може бути кілька різних програм компілятора, які реалізують один і той же варіант мови.

$2^{\texttt{CHAR_BIT}}$t$2^{\texttt{CHAR_BIT} \times \texttt{sizeof(t)}}$

$2^{\texttt{CHAR_BIT} \times \texttt{sizeof(void*)}}$

Ці значення CHAR_BITта sizeof(void*)видимі, тому якщо у вас не вистачає пам'яті, ви не можете просто відновити роботу програми з більшими значеннями для цих параметрів. Ви б запускали програму під іншою мовою програмування - іншою реалізацією на C.

$n \times 2^{\texttt{CHAR_BIT} \times \texttt{sizeof(void*)}}$$n$

C не нав'язує безпосередньо максимальну глибину рекурсії. Дозволено мати максимум, але також не можна. Але як ми спілкуємося між викликом функції та його батьківським? Аргументи не корисні, якщо вони адресовані, тому що це побічно обмежувало б глибину рекурсії: якщо у вас є функція, int f(int x) { … f(…) …}то всі входження xв активних кадрах fмають свою власну адресу, і тому кількість вкладених викликів обмежується числом можливих адрес для x.

Програма змінного струму може використовувати не адресований сховище у вигляді registerзмінних. "Нормальні" реалізації можуть мати лише невелику, обмежену кількість змінних, що не мають адреси, але теоретично реалізація може забезпечити необмежену кількість registerпам'яті. У такій реалізації ви можете робити необмежену кількість рекурсивних викликів функції, доки є її аргументом register. Але оскільки аргументи є register, ви не можете зробити вказівник на них, і тому вам потрібно копіювати їх дані навколо: ви можете передавати лише обмежений обсяг даних, а не структуру даних довільного розміру, яка складається з покажчиків.

З необмеженою глибиною рекурсії та обмеженням того, що функція може отримувати дані лише від свого прямого абонента ( registerаргументи) та повертати дані своєму прямому виклику (повернене значення функції), ви отримуєте потужність детермінованих автоматичних натискань .

Я не можу знайти спосіб піти далі.

(Звичайно, ви можете змусити програму зберігати вміст стрічки зовнішньо через функції введення / виводу файлів. Але тоді ви не запитаєте, чи є C повним Тюрінгом, але чи C безмежною системою зберігання є Тюрінг-повною, відповідь - нудне "так". Ви можете також визначити, що сховище буде оракулом Тюрінга, дзвінок  fopen("oracle", "r+"), fwriteпочатковий вміст стрічки до нього та freadповернення остаточного вмісту стрічки.)

Додавання C99 до va_copyAPI різноманітного аргументу може дати нам задній шлях до повноти Тьюрінга. Оскільки стає можливим повторення через список різноманітних аргументів більше одного разу у функції, відмінній від тієї, яка спочатку отримала аргументи, va_argsможе використовуватися для реалізації покажчика без вказівника.

Звичайно, реальна реалізація API різноманітного аргументу, ймовірно, десь матиме вказівник, але в нашій абстрактній машині це може бути реалізовано за допомогою магії.

Ось демонстрація, що реалізує 2-стековий автоматичний віджимання з довільними правилами переходу:

#include <stdarg.h>
typedef struct { va_list va; } wrapped_stack; // Struct wrapper needed if va_list is an array type.
#define NUM_SYMBOLS /* ... */
#define NUM_STATES /* ... */
typedef enum { NOP, POP1, POP2, PUSH1, PUSH2 } operation_type;
typedef struct { int next_state; operation_type optype; int opsymbol; } transition;
transition transition_table[NUM_STATES][NUM_SYMBOLS][NUM_SYMBOLS] = { /* ... */ };

void step(int state, va_list stack1, va_list stack2);
void push1(va_list stack2, int next_state, ...) {
    va_list stack1;
    va_start(stack1, next_state);
    step(next_state, stack1, stack2);
}
void push2(va_list stack1, int next_state, ...) {
    va_list stack2;
    va_start(stack2, next_state);
    step(next_state, stack1, stack2);
}
void step(int state, va_list stack1, va_list stack2) {
    va_list stack1_copy, stack2_copy;
    va_copy(stack1_copy, stack1); va_copy(stack2_copy, stack2);
    int symbol1 = va_arg(stack1_copy, int), symbol2 = va_arg(stack2_copy, int);
    transition tr = transition_table[state][symbol1][symbol2];
    wrapped_stack ws;
    switch(tr.optype) {
        case NOP: step(tr.next_state, stack1, stack2);
        // Note: attempting to pop the stack's bottom value results in undefined behavior.
        case POP1: ws = va_arg(stack1_copy, wrapped_stack); step(tr.next_state, ws.va, stack2);
        case POP2: ws = va_arg(stack2_copy, wrapped_stack); step(tr.next_state, stack1, ws.va);
        case PUSH1: va_copy(ws.va, stack1); push1(stack2, tr.next_state, tr.opsymbol, ws);
        case PUSH2: va_copy(ws.va, stack2); push2(stack1, tr.next_state, tr.opsymbol, ws);
    }
}
void start_helper1(va_list stack1, int dummy, ...) {
    va_list stack2;
    va_start(stack2, dummy);
    step(0, stack1, stack2);
}
void start_helper0(int dummy, ...) {
    va_list stack1;
    va_start(stack1, dummy);
    start_helper1(stack1, 0, 0);
}
// Begin execution in state 0 with each stack initialized to {0}
void start() {
    start_helper0(0, 0);
}

Примітка. Якщо va_listтип масиву - це фактично приховані параметри вказівника до функцій. Тому, мабуть, було б краще змінити типи всіх va_listаргументів на wrapped_stack.

Можливо, нестандартна арифметика?

Отже, видається, що проблема полягає в кінцевому розмірі sizeof(t). Однак, я думаю, я знаю, як обійтись.

Наскільки мені відомо, C не вимагає реалізації, щоб використовувати стандартні цілі числа для свого цілого типу. Тому ми могли б використовувати нестандартну модель арифметики . Тоді ми б встановили sizeof(t)деякий нестандартний номер, і тепер ми ніколи не досягнемо його за кінцеву кількість кроків. Тому довжина стрічки машин Тюрінга завжди буде меншою, ніж "максимум", оскільки максимум досягти буквально неможливо. sizeof(t)просто не є числом у регулярному розумінні цього слова.

Це одна технічна річ: теорема Тенненбаума . У ньому зазначається, що єдиною моделлю арифметики Пеано є стандартна, що, очевидно, не зробить. Однак, наскільки я знаю, C не вимагає реалізації для використання типів даних, які задовольняють аксіоми Peano, а також не вимагає обчислення реалізації, тому це не повинно бути проблемою.

Що має статися, якщо ви спробуєте вивести нестандартне ціле число? Ну, ви можете представляти будь-яке нестандартне ціле число за допомогою нестандартного рядка, тому просто потійте цифри з передньої частини цього рядка.

IMO, сильне обмеження полягає в тому, що адресний простір (через розмір вказівника) є кінцевим, і це неможливо відновити.

Можна припустити, що пам'ять можна "поміняти на диск", але в якийсь момент інформація про адресу сама перевищить розмір адреси.

На практиці ці обмеження не мають значення для повноти Тьюрінга. Справжня вимога - дозволити стрічці бути довільною довгою, а не нескінченною. Це створило б проблему зупинки іншого типу (як Всесвіт "обчислює" стрічку?)

Це так само хибно, як сказати "Python не є Тюрінг повним, тому що ви не можете зробити список нескінченно великим".

[Редагувати: дякую містеру Вітлідж за пояснення, як редагувати.]

Знімний носій дозволяє нам обійти проблему без обмеженої пам'яті. Можливо, люди подумають, що це зловживання, але я думаю, що це нормально і взагалі неминуче.

Виправити будь-яку реалізацію універсальної машини Тьюрінга. Для стрічки ми використовуємо знімні носії. Коли головка закінчується в кінці або на початку поточного диска, машина пропонує користувачеві вставити наступний або попередній. Ми можемо використовувати спеціальний маркер для позначення лівого кінця імітованої стрічки або мати стрічку, яка не обмежена в обох напрямках.

Ключовим моментом тут є те, що все, що програма C повинна робити, є кінцевим. Комп'ютеру потрібно лише достатньо пам'яті для імітації автомата, і size_tвін повинен бути достатньо великим, щоб можна було вирішити той (насправді досить невеликий) об'єм пам'яті та на дисках, які можуть мати будь-який фіксований обмежений розмір. Оскільки користувачеві пропонується лише вставити наступний чи попередній диск, нам не потрібно необмежено великих чисел, щоб сказати "Будь ласка, введіть номер диска 123456 ..."

Я припускаю, що основне заперечення, ймовірно, стосується залучення користувача, але це, здається, неминуче в будь-якій реалізації, оскільки, схоже, немає іншого способу реалізації необмеженої пам'яті.

Вибирайте, size_tщоб бути нескінченно великим

Ви могли вибрати size_tнескінченно великі. Звичайно, реалізувати таку реалізацію неможливо. Але це не дивно, враховуючи скінченний характер світу, в якому ми живемо.

Практичні наслідки

Але навіть якби можна було реалізувати таку реалізацію, виникали б практичні питання. Розглянемо наступне твердження C:

printf("%zu\n",SIZE_MAX);

SIZE_MAXSIZE_MAX$O(2^{size\_t})$size_tSIZE_MAXprintf

На щастя, для наших теоретичних цілей я не зміг знайти жодної вимоги в специфікації, згідно з якою гарантії printfприпиняються на всі вхідні дані. Отже, наскільки мені відомо, ми тут не порушуємо специфікацію C.

Про обчислювальну повноту

Залишається довести, що наша теоретична реалізація - Тьюрінг завершений . Це ми можемо показати, застосувавши "будь-яку машину Тюрінга".

Більшість із нас, мабуть, реалізували машину Тюрінга як шкільний проект. Я не буду наводити подробиці конкретної реалізації, але ось загальновживана стратегія:

• Кількість станів, кількість символів та таблиця переходів стану фіксуються для будь-якої машини. Таким чином, ми можемо представляти стани та символи у вигляді чисел, а таблиця переходів стану як двовимірний масив.
• Стрічка може бути представлена ​​у вигляді пов'язаного списку. Ми можемо використовувати один подвійний зв'язаний список або два односхилених списки (по одному для кожного напрямку від поточної позиції).

Тепер давайте розберемося, що потрібно для реалізації такої реалізації:

• Здатність представляти деякий фіксований, але довільно великий набір чисел. Щоб представити будь-яке довільне число, ми також вирішимо MAX_INTбути нескінченними. (Крім того, ми могли б використовувати інші об'єкти для представлення станів та символів.)
• Можливість побудови довільно великого пов'язаного списку для нашої стрічки. Знову ж таки, немає обмежень щодо розміру. Це означає, що ми не можемо створити цей список наперед, оскільки ми витратили б назавжди лише на побудову своєї стрічки. Але ми можемо нарощувати цей список поступово, якщо використовувати динамічне розподіл пам’яті. Ми можемо використовувати malloc, але є ще трохи, що ми повинні врахувати:
  • Специфікація C дозволяє mallocвийти з ладу, якщо, наприклад, наявна пам'ять вичерпана. Тож наша реалізація є справді універсальною лише тоді, коли mallocніколи не провалюється.
  • Однак якщо наша реалізація працює на машині з нескінченною пам’яттю, тоді не потрібно mallocвідмовлятися. Без порушення стандарту С наша реалізація гарантує, що mallocніколи не вийде з ладу.
• Можливість розмежування покажчиків, пошук елементів масиву та доступ до членів зв’язаного вузла списку.

Отже, наведений вище перелік - це те, що необхідно для впровадження машини Тьюрінга в нашій гіпотетичній реалізації C. Ці функції повинні припинитись. Однак, будь-що інше може бути дозволено не припиняти (якщо цього не вимагає стандарт). Сюди входить арифметика, ІО тощо.

Основним аргументом тут було те, що розмір size_t є кінцевим, хоча може бути нескінченно великим.

Для цього є рішення, хоча я не впевнений, чи збігається це з ISO C.

Припустимо, у вас машина з нескінченною пам'яттю. Таким чином, ви не обмежені для розміру вказівника. Ви все ще маєте свій тип size_t. Якщо ви запитаєте мене, що таке sizeof (size_t), відповідь буде просто sizeof (size_t). Наприклад, якщо ви запитуєте, чи не перевищує 100, відповідь - так. Якщо ви запитаєте, що таке sizeof (size_t) / 2, як ви могли здогадатися, відповідь все ще є sizeof (size_t). Якщо ви хочете роздрукувати його, ми можемо домовитись про вихід. Різниця цих двох може бути NaN тощо.

Підсумок полягає в тому, що розслаблення умови для size_t мають обмежений розмір не порушить жодної програми, яка вже існує.

PS Виділення розміру пам'яті (size_t) все ще можливо, вам потрібен лише лічильний розмір, так що скажімо, ви берете всі рівнини (або подібний трюк).

Так.

1. Цитована відповідь

Як реакція на велику кількість посилань на мої (та інші) правильні відповіді - порівняно з тривожно високим схваленням помилкових відповідей - я шукав менш теоретично глибоке альтернативне пояснення. Я знайшов цього . Я сподіваюсь, що він охоплює деякі тут поширені помилки, щоб проявити трохи більше розуміння. Істотна частина аргументу:

[...] Його аргумент такий: припустимо, хтось написав задану програму, що закінчується, яка може вимагати під час її виконання до деякої кількості довільної кількості пам’яті. Не змінюючи цю програму, можна після цього впровадити частину комп'ютерного обладнання та його компілятор C, які забезпечують достатню кількість пам’яті для розміщення цього обчислення. Це може зажадати розширення ширини знаків (через CHAR_BITS) та / або покажчиків (через size_t), але програму не потрібно змінювати. Оскільки це можливо, C справді є Turing-Complete для завершення програм.

Складна частина цього аргументу полягає в тому, що він працює лише при розгляді програми, що припиняється. Програми, що припиняють, мають це приємне властивість: вони мають статичну верхню межу своєї вимоги до зберігання, яку можна визначити експериментально, запустивши програму над потрібним входом із збільшенням розміру пам’яті, поки вона не «підходить».

Причина, чому мене ввели в оману в моїй думці, це те, що я розглядаю ширший клас «корисних» непереривних програм [...]

Коротше кажучи, оскільки для кожної обчислюваної функції існує рішення мовою С (через необмеженість верхніх меж), кожна обчислювана проблема має програму C, таким чином, C є повним Turing.

2. Моя оригінальна відповідь

Існують широкі плутанини між математичними поняттями в теоретичній інформатиці (такі як Тьюрінг-повнота) та їх застосуванні в реальному світі, тобто технікою в практичній інформатиці. Тюрінг-повнота не є властивістю фізично існуючих машин або будь-якої в обмеженому простором часу моделі. Це просто абстрактний об'єкт, що описує властивості математичних теорій.

C99 є повним Тьюрінгом незалежно від обмежень на основі реалізації, як і практично будь-яка інша поширена мова програмування, оскільки він здатний виражати функціонально повний набір логічних сполучників і, в принципі, має доступ до необмеженого обсягу пам'яті. Люди вказували, що C обмежує доступ до випадкової пам'яті явно обмеженим, але цього нічого не можна обійти, оскільки це додатково зазначені обмеження в стандарті C, тоді як повнота Тьюрінга вже без них :

Ось дуже основна річ про логічні системи, яких повинно вистачити для неконструктивного доказу. Розглянемо обчислення з деякими схемами та правилами аксіом, таким чином, що набір логічних послідовностей дорівнює X. Тепер, якщо додати деякі правила або аксіоми, набір логічних наслідків зростає, тобто повинен бути надмножиною X. Ось чому, наприклад, , модальна логіка S4 належним чином міститься в S5. Аналогічно, коли у вас є підвищена специфікація, яка завершена Тьюрінгом, але ви додаєте деякі обмеження зверху, це не запобігає жодним із наслідків у X, тобто повинен бути спосіб обійти всі обмеження. Якщо ви хочете мову, що не закінчується Тюрінгом, обчислення повинно бути скороченим, а не розширеним. Розширення, які стверджують, що щось було б неможливо, але насправді є, лише додають неузгодженості. Ці невідповідності стандарту С можуть не мати жодних практичних наслідків, хоча так само, як Тюрінг-повнота не пов'язана з практичним застосуванням.

Моделювання довільних чисел на основі глибини рекурсії (тобто це ; з можливістю підтримки декількох чисел за допомогою планування / псевдопотоків; немає теоретичного обмеження глибини рекурсії в С ), або використання файлового зберігання для імітації необмеженої пам'яті програми ( ідея ) ймовірно, лише дві з нескінченних можливостей конструктивно довести Тьюрінг-повноту C99. Слід нагадати, що для обчислюваності складність часу та простору не має значення. Зокрема, припускати обмежене середовище для фальсифікації повноти Тьюрінга - це лише кругові міркування, оскільки це обмеження виключає всі проблеми, що перевищують передбачувану межу складності.

( ПРИМІТКА . Цю відповідь я написав лише для того, щоб люди не зупинялися на здобуття математичної інтуїції через якесь обмежене мислення, орієнтоване на додатки. Дуже шкода, що більшість учнів прочитають неправдиву прийняту відповідь через те, що її авансовують на основі основні недоліки міркувань, щоб більше людей поширювали такі помилкові переконання. Якщо ви спростуєте цю відповідь, ви просто частина проблеми.)