Чи може машина Тьюрінга (TM) вирішити, чи стосується проблеми зупинки до всіх ТМ?

9

На цьому веб-сайті є багато варіантів питання, чи можуть ТМ вирішити проблему зупинки, будь то для всіх інших ТМ чи певних підмножин. Це питання дещо інше.

Він запитує, чи може проблема зупинення застосовано до всіх ТМ, щоб вирішити ТМ. Я вважаю, що відповідь - ні, і хочу перевірити моє міркування.

Визначте мову мета-зупинки як мову, що складається з ТМ, яка вирішує, чи припиняється TM. $L_{MH}$

L_{M H} = {M : \forall_{M^{'}, w} M (M^{'}, w) accepts if M^{'} (w) halts, rejects otherwise}

$L_{MH} = \{ M : \forall_{M',w} M(M', w) \text{ accepts if $M'(w)$ halts, rejects otherwise}\}$

через проблему зупинки. $L_{MH}= \emptyset$

Таким чином, в заголовковому питанні точніше сказано: чи вирішується, чи ? $L_{MH} = \emptyset$

За теоремою Райса не можна визначити, чи порожня мова повторна.
В обох випадках, якщо є або не повторно, не можна визначити, чи . $L_{MH}$ $L_{MH} = \emptyset$
Тому не можна визначити, чи . $L_{MH} = \emptyset$

Це доводить, що TM не може вирішити, чи стосується проблеми зупинки до всіх TM.

Чи правильно моє розуміння?

ОНОВЛЕННЯ: Я намагаюся показати, що TM не може "довести проблему зупинки" для певного визначення "довести", яке здається інтуїтивно правильним. Нижче наведено ілюстрацію того, чому я вважаю, що це правильно.

Ми можемо створити TM який генерує наступним чином. ТМ приймає кортеж . Він імітує для ітерацій. Якщо приймає все $M_{MH}$ $L_{MH}$ $(M_i,M_j,w_k,steps)$ $M_i(M_j, w_k)$ $steps$ $M_i$ $(M_j, w_k)$ пари, які зупиняють, і відкидає всі інші, тоді приймає . В іншому випадку він відкидає якщо вирішить неправильно або не зупинить. $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$ $M_i$

не зупиняється, оскільки він повинен оцінювати нескінченну кількість пар для кожного . Крім того, всі s не зможуть зупинитися. не зможе прийняти або відхилити будь-який оскільки не зможе знати з моделювання, що всі s не зможуть зупинитися. Таким чином, мова, яку він визначає, не може бути переосмисленою і не вирішуваною. $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$

фіксує мою інтуїцію того, що я думаю, що це означає для TM, щоб довести проблему зупинки. Інші пропозиції, такі як відхилення всіх або отримання відомих доказів, дають попередні знання про те, що проблема зупинки стосується всіх . Це не можна вважати, як щось доводить, оскількиприпущення є висновком, який він доводить, і, таким чином, є круговим. $M_{MH}$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_{MH}$

— ітер
джерело

3

Виправлення не допомагає. Проблема без параметрів завжди вирішується або машиною Тюрінга, яка завжди видає ТАК, або тією, яка завжди видає НІ. На жаль, ваш аргумент просто не працює. Справжнім аналогом теореми Геделя є теорема Райса.

— Yuval Filmus

5

"Він запитує, чи може проблема зупинення стосуватися всіх ТМ вирішувати ТМ". - цей запит не має сенсу, оскільки проблема зупинки не "застосовується" до набору ТМ. Принаймні, я не знаю, що це повинно означати.

— Рафаель

4

Ви неправильно зрозуміли теорему Райса. Теорема Райса зазначає (в окремому випадку), що мова

може бути визначеною. У ньому не зазначено, що

можна визначити; насправді

визначається.

{M : L (M) = \emptyset}

$\{ M : L(M) = \emptyset \}$

\emptyset

$\emptyset$

\emptyset

$\emptyset$

— Yuval Filmus

7

Я думаю, що непорозуміння полягає в тому, що означає вираз "вирішуючи X". Формально X має бути предикатом для рядків, і тоді машина, що вирішує X, є тією, яка на вході s виводить значення істинності X ( s ). Який присудок у вашому випадку? Який його вклад і коли це правда?

— Yuval Filmus

5

Питання - це помилка категорії. Розбірливість - це властивість мов (наборів рядків), а не математичних пропозицій. Будь-яке запитання форми "Чи вирішальним є

?" де

не є набором рядків, просто не має сенсу.

X

$X$

X

$X$

— Девід Річербі

5

Інша точка зору: нехай - формалізація твердження " " в ZFC ; (тривіально) маємо: $\varphi$ $L_{MH} = \emptyset$

множина визначається; $P = \{ x \mid x \mbox{ is a valid proof of } \varphi \mbox{ in ZFC}\}$
ви також можете побудувати TM який перераховує докази в ZFC і зупиняє, якщо він знайде доказ або доказ ; чітко зупинки; $M$ $\varphi$ $\neg \varphi$ $M$
множина визначається $\{ M \mid M \mbox{ decides } P \}$

— Vor
джерело

19

Мова машин Тьюрінга, що вирішують проблему зупинки, вирішальна. Машина Тьюрінга, яка вирішує це, просто завжди видає НІ.

Іншими словами, визначається. $\emptyset$

Вас можуть сплутати з тим, що мова машин Тьюрінга, мова яких порожня, не можна визначити. Тобто, немає машини Тюрінга, яка на вході визначає, чи . $T$ $L(T) = \emptyset$

— Юваль Фільм
джерело

7

Порожню мову можна вирішити. Змирися з цим.

— Yuval Filmus

15

Мова машин Тьюрінга, що вирішують проблему зупинки, порожня. Порожню мову можна вирішити. Отже, мова машин Тьюрінга, що вирішують проблему зупинки, вирішальна.

— Yuval Filmus

1

Питання полягає в тому, чи може ТМ вирішити мову машин Тьюрінга, які вирішують, що проблема зупинки порожня. TM не може цього зробити, як я показав вище.

— yters

1

@yters Ви запитуєте, чи може TM підтвердити, що ця мова порожня? Це легко зробити, просто вивівши наявне відоме доказ.

— користувач253751

3

Що навіть означає для TM, щоб щось довести ?

— Yuval Filmus

2

Ви неправильно розумієте теорему Райса.

Теорема Райса в цьому контексті говорить про те, що ви не можете вирішити проблему "Чи Т вирішує порожню мову?".

Ваша проблема не в тому, щоб вирішити, чи довільна машина Тьюрінга вирішить порожню мову. Ваша проблема полягає в тому, існує чи ні М, який вирішує порожню мову.

І такі М існують. Ви можете зробити навіть краще, ніж це: ви можете фактично побудувати таку М і надати доказ того, що вона вирішує порожню мову.

Загальна проблема, яку не можна вирішити, не означає, що ви не можете вирішити конкретні екземпляри. Насправді, за допомогою звичайного пристрою перерахування всіх доказів, існує машина, що виконує вказівки:

Приймає кожну машину, яка підтверджує, що вона вирішує порожню мову
Відхиляє кожну машину, яка підтверджує, що вона не визначає порожню мову
Не зупиняється, якщо це неможливо довести жодним чином.

1

Визначення щодо прийнятності з Вікіпедії :

Рекурсивна мова - це формальна мова, для якої існує машина Тьюрінга, яка, коли вона представлена будь-яким кінцевим рядком введення , зупиняється і приймає, якщо рядок є в мові, і зупиняє та відкидає інше. Машина Тьюрінга завжди зупиняється: вона відома як рішуча і, як кажуть, визначає рекурсивну мову.

Іншими словами, якщо вирішити, якщо є машина Тьюрінга, яка вирішує всі вхідні рядки. Iff не можна визначити для кожної машини Тьюрінга, він не визначає всі вхідні рядки, а значить, він може вирішити жодну або деякі рядки, але є принаймні одна (але практично принаймні нескінченна з них), яку він не може вирішити.

$L$ $L = \emptyset$ $L_{MH} = \emptyset$

— user23013
джерело