Як я можу зменшити суму підмножини до розділу?

Можливо, це досить просто, але у мене є певні проблеми, щоб отримати це зменшення. Я хочу зменшити суму підмножини до розділу, але в даний час я не бачу зв'язку!

Чи можна зменшити цю проблему за допомогою зменшення Левіна?

Якщо ви не розумієте, пишіть для пояснення!

Нехай - екземпляр підмножини, де L - список (мультисети) чисел, а B - цільова сума. Нехай S = Σ L . Нехай L ' - список, утворений додаванням S + B , 2 S - B до $(L,B)$$L$$B$$S = \sum L$$L'$$S+B,2S-B$$L$ .

(1) Якщо є підпис підсумків до B , то L ' можна розділити на дві рівні частини: M ∪ { 2 S - B } і L ∖ M ∪ { S + B } . Дійсно, перша частина дорівнює B + ( 2 S - B ) = 2 S , а друга - ( S - B ) + ( S + $M \subseteq L$$B$$L'$$M \cup \{ 2S-B \}$$L\setminus M \cup \{ S+B \}$$B+(2S-B) = 2S$ .$(S-B)+(S+B) = 2S$

(2) Якщо може бути розділена на дві рівні частини P 1 , P 2 , тобто подсписок L підсумовуванням до B . Дійсно, оскільки ( S + B ) + ( 2 S - B ) = 3 S і кожна частина дорівнює 2 S , два елементи належать до різних частин. Без втрати загальності, 2 S - B ∈ P 1 . Решта елементів P 1 належать$L'$$P_1,P_2$$L$$B$$(S+B)+(2S-B) = 3S$$2S$$2S-B \in P_1$$P_1$ і сума до B .$L$$B$

Відповідь, яку згадував @Yuval Filmus, є невірною (вона правильна ТІЛЬКИ, якщо немає негативних цілих чисел). Розглянемо наступний мультисет:

а цільова сума . Ми знаємо, що немає підмножини. Тепер ми побудуємо екземпляр для проблеми з розділами. Два нових доданих елемента - 2 σ - t = 12 і σ + t = 3 . Зараз мультисети: { - 5 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 12 } і загальна сума $-2$$2\sigma-t = 12$$\sigma+t = 3$

Проблема розділів вирішує відповідь, що дає підмножину Тут два нові елементи знаходяться в одному підмножині (іншого способу розділити на половину суми немає). Отже, це протилежний приклад. Правильна відповідь така:

Додайте елемент, значення якого . Загальна сума мультисети зараз становить 2 т . Вирішіть задачу про розділи, яка дасть 2 підмножини суми t . Тільки один з розділів буде містити новий елемент. Ми вибираємо інший розділ, сума якого дорівнює t, і ми вирішили задану підмножину, зменшивши її до проблеми з розділами. Це пояснює посилання .$2t-\sigma$$2t$$t$$t$

Ось прямий доказ:

Неважко помітити, що SET-PARTITION можна перевірити в поліноміальний час; задавши розділ $P_1,P_2$ просто підсумовуйте обидві і переконайтеся, що їх суми рівні одна одній, що, очевидно, перевірка поліноміального часу (адже підсумовування є поліноміальною операцією, і ми виконуємо лише щонайбільше $|X|$ безліч підсумків).

Основа доказу полягає в тому, щоб зменшити ПІДСУМКУ до ЧАСТИНИ; з цією метою заданий набір $X$ і значення $t$ (запит підмножини) формуємо новий набір $X'=X \cup \{s-2t\}$ де $s=\sum_{x \in X}x$ . Щоб побачити, що це зменшення:

• ($\implies$) припустимо, що існує деякий $S \subset X$ такий, що $t=\sum_{x \in S}x$ тоді ми мали б, що

  $$\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in S\cup \{ s-2t \} }x, \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in X' \setminus( S\cup \{s-2t\})}x \end{equation*}$$ і ми мали б, що $S\cup \{ s-2t \}$ і$X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ утворюють розділ$X'$

• ($\impliedby$$P_1',P_2'$$X'$$\sum_{x \in P_1'}x= \sum_{x \in P_2'}x$$P_1$$P_2$$X$

  $$\begin{equation*} s-2t+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \implies s-2t+\sum_{x \in P_1}x+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x+\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \implies s-2t+2\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \implies \sum_{x \in P_1}x = t \end{equation*}$$

Hence from a solution $t=\sum_{x \in S}x$ we can form a parition $P_1 =S\cup \{ s-2t \}$, $P_2=X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ and conversely from a partition $P_1',P_2'$ we can form a soltuion $t=\sum_{x \in P_1'\setminus \{s-2t\}}x$ and therefore the mapping $f:(X,t)\rightarrow X'$ is a reduction (because $(X,t)$ is in the language/set SUBSETSUM $\Leftrightarrow X'=f(X,t)$ is in the language/set PARTITION) and it is clear to see that the transformation was done in polynomial time.

Subset Sum:

Input: {a1,a2,...,am} s.t M={1..m} and ai are non negative integer and S⊆{1..k} and Σai(i∈S) = t

Partition:

Input: {a1,a2,...,am} and S⊆ {1,· · ·,m} s.t Σai(i∈S) = Σaj(j∉S)

Partition Np Proof: if prover provides a partitions(P1,P2) for verifier, verifier can easily calculate the sum of P1 and P2 and check if the result is 0 in linear time.

NP_Hard: SubsetSum ≤p PARTITION

Let x be input of SubsetSum and x=〈a1,a2,...,am,t〉 and Σai(i from 1 to m) = a

Case1: 2t >= a:

Let f(x)=〈a1,a2,...,am,am+1〉 where am+1= 2t−a

We want to show that x∈SubsetSum ⇔ f(x)∈PARTITION

so there exist S⊆ {1,...,m} s.t T = {1..m} - S and Σai(i∈T) = a-t

and Let T' = {1...m,m+1} - S so Σaj(j∈T') = a-t+2t-a = t

which is exactly Σai(i∈S)= t and it shows f(x)∈PARTITION

now We also will show that f(x)∈PARTITION ⇔ x∈SubsetSum

so there exist S⊆ {1,...,m,m+1} s.t T = {1,...,m,m+1} - S and Σai (i∈T)= [a+(2t-a)-t]=t

and it shows Σai(i∈T) = Σaj(j∈S) so m+1∈T and S⊆ {1,· · ·,m} and Σai(i∈S)= t

so x∈SubsetSum

Case 2: 2t =< a :

we can check same but just this time am+1 is a−2t

this link has a good description of both reductions, partition to subset-sum and subset-sum to partition. I think it is more obvious than YUVAL's answer. useful link