Розбірливість мов граматик та автоматів

Зауважте, це питання, пов’язане з навчанням у курсі CS в університеті, це НЕ домашнє завдання і його можна знайти тут під іспитом осінь 2011 року2.

Ось два питання, які я розглядаю з минулого іспиту. Вони, здається, пов'язані першими:

Дозволяти

$\qquad \mathrm{FINITE}_{\mathrm{CFG}} = \{ < \! G \! > \mid G \text{ is a Context Free Grammar with } |\mathcal{L}(G)|<\infty \}$

Доведіть, що - це рішуча мова. $\mathrm{FINITE}_{\mathrm{CFG}}$

і ...

Дозволяти

$\qquad \mathrm{FINITE}_{\mathrm{TM}} = \{ < \! M\!> \mid M \text{ is a Turing Machine with } |\mathcal{L}(M)|<\infty \}$

Доведіть, що - мова, яку не можна визначити. $\mathrm{FINITE}_{\mathrm{TM}}$

Я трохи розгублений, як вирішити ці проблеми, але у мене є кілька розумінь, які, на мою думку, можуть бути в правильному напрямку. Перше, що мені відомо, це те, що мова , де$A_{\mathrm{REX}}$

$\qquad A_{\mathrm{REX}} = \{ <\! R, w \!> \mid R \text{ is a regular expression with } w \in\mathcal{L}(R)\}$

є рішучою мовою (докази містяться в « Теорії обчислень» Майкла Сіпсера , стор. 168). Це ж джерело також доводить, що Контекстну вільну граматику можна перетворити на регулярний вираз, і навпаки. Таким чином, також має бути рішучим, оскільки він може бути перетворений у регулярний вираз. Це, а також той факт , що Т М є іпомею -разрешімого, по- видимому, пов'язаний з цією проблемою.$A_{\mathrm{CFG}}$$A_{\mathrm{TM}}$

Єдине , що можна думати про проходження G Тьюрингу машиною для (після перетворення G з регулярним виразом) і Т М . Тоді прийняття, якщо G робить, і відхилення, якщо G - ні. Оскільки A T M не можна визначити, цього ніколи не відбудеться. Я якось відчуваю, що я тут помиляюся, але я не впевнений, що це таке. Може хтось, будь ласка, допоможе мені тут руку?$A_{\mathrm{REX}}$$A_{\mathrm{TM}}$$A_{\mathrm{TM}}$

1. Перетворіть G в Хомський нормальний вигляд . Таким чином, єдиним порожнім виведенням буде символ запуску, який не з’являється ніде більше, і, отже, якщо є деяка продукція, яка, можливо, зможе в кінцевому рахунку генерувати себе, то граматика нескінченна. Якщо такого виробництва не існує, кожен символ зможе генерувати лише кінцевий набір рядків, і тоді граматика буде кінцевою. Отже, побудуйте спрямований графік, де кожне виробництво є вузлом, а кожен символ у виробництві - це край, орієнтований на цей символ. Якщо графік має деякий цикл, CFG нескінченний, інакше це не так. Отже, машина Тьюрінга для може бути побудована саме так, і тоді F $FINITE_{CFG}$ можна визначити.$FINITE_{CFG}$

2. Припустимо, що можна визначити. Припустимо , що Н є машина Тьюринга , яка має певну рядок в якості вхідних даних і використовує себе в якості вхідних даних для Р Я Н Я Т Е Т М . Якщо F I N I T E T M повертає істину (тобто H приймає лише кінцеву мову), то $FINITE_{TM}$$H$$FINITE_{TM}$$FINITE_{TM}$$H$$H$приймає вхід, що призводить до суперечності, оскільки набір вводу нескінченний (довжина вводу не обмежена, тому приймайте будь-який можливий рядок як введення означає прийняття нескінченного набору рядків). Якщо повертає помилкові (тобто мова H нескінченна), то H відхиляє введення, що означає, що мова H кінцева, тому що він не приймає жодного вводу (тобто мова його порожня), що призводить і до суперечності. Таким чином, припущення про існування H призводить до суперечності, і це припущення грунтується на припущенні, що F I N I $FINITE_{TM}$$H$$H$$H$$H$ можна визначити. Отже, суперечливістю ми маємо, щоFINIT E T M не можна вирішити.$FINITE_{TM}$$FINITE_{TM}$

Це ж джерело також доводить, що Контекстну вільну граматику можна перетворити на регулярний вираз, і навпаки.

Я дуже сумніваюся, що Сіпсер заявив би про це, ви, мабуть, неправильно прочитали чи не зрозуміли. Це означає, що без контекстних граматик генеруються точно такі ж мови, що і праволінійні граматики. Це помилково; праволінійні граматики, що генеруються, є належним набором мов, без контексту, граматики dp. Це означає, що те, як ви намагалися використовувати звичайні мови для відповіді на питання, просто не приводить вас нікуди.

Як ви бачите вище в моїх доказах, ці два питання - це справді два дуже чіткі, не пов'язані між собою питання. Просто буває так, що вони були сформульовані аналогічно.

Інший спосіб вирішити $FINITE_{CFG}$ - це через насосну лему.

Лемма накачування говорить, що кожен CFL має число N (яке можна обчислити з граматики, або принаймні верхню межу його можна легко обчислити), так що будь-який x ∈ L довший ніж $L$$N$$x\in L$$N$ може бути «накачаний ".

Це означає, що якщо кінцеве, усі слова в L коротші ніж $L$$L$$N$ .

$N$$2N$$L$$L$