Посилання на порівняння між квантовими комп'ютерами та машинами Тюрінга

Мені сказали, що квантові комп'ютери обчислювально не є більш потужними, ніж машини Тьюрінга. Чи може хтось люб’язно допомогти у наданні літературних посилань, що пояснюють цей факт?

— Мок-Конг Шен
джерело

Здається, у вас є зареєстрований обліковий запис на інших сайтах Stack Exchange. Ви повинні зареєструвати свій обліковий запис CS та пов’язати його з іншими (див. Довідковий центр ). Крім усього іншого, це дозволить вам брати участь у чаті від CS.

— Жил "ТАК - перестань бути злим"

Відповіді:

Насправді справа в тому, що все, що може розрахувати квантовий комп'ютер, машина Тьюрінга також може обчислити. (Це зовсім не коментуючи, скільки часу потрібно машині Тьюрінга для обчислення функції порівняно з квантовим комп'ютером.)

Це насправді не важко помітити за умови розуміння квантових обчислень. Наприклад, для квантового кола над типовим набором воріт, наприклад, результат регулюється розподілом вірогідності, який визначається коефіцієнтами унітарної матриці. Ця унітарна матриця - це лише матричний добуток із воріт, і її можна обчислити - якщо ви досить терплячі - класичним комп'ютером. Тому для чистої обчислюваності (на відміну від ефективності) немає переваги у використанні квантових комп'ютерів.

Вся проблема, що виникає в результаті квантової механіки, полягає у визначенні того, чи можна такі коефіцієнти обчислити ефективно , що є більш вимогливою проблемою, ніж чи взагалі їх можна обчислити .

— Ніль де Бодорап
джерело

Хоча знання мого початківця говорять мені про те, що квантова схема являє собою перетворення матриці Адамара, я ще не можу зрозуміти, як можливість програмування робити довільні матричні обчислення на класичному комп’ютері могла бути підгрунтом фізично мають квантовий контур. Наприклад, моя книга говорить про генерацію випадкових чисел наступним чином: 1. | x> <- | 0> 2. | x> <- H | x> 3. Вимірюємо | x> Що б, зокрема, відповідало кроку 3 програмування на класичному комп’ютері?

— Mok-Kong Shen

(Правильно нормалізована) матриця Адамара - це лише одне можливе унітарне перетворення. Для вашого обчислення ми можемо визнати, що детермінований апарат Тьюрінга може обчислити розподіл ймовірностей (0,5, 0,5), що складається з квадратів норм першого стовпця матриці Адамара

, і що для рандомізованої машини Тьюрінга (яка може виконувати обертання монети) ми можемо піти на крок далі і виготовити зразок із цього розподілу ймовірностей. У будь-якому випадку, будь-яка функція, обчислена квантовим ланцюгом з похибкою <1/2, класична машина також може.

| ⟨ b | H | 0 ⟩ |^{2}

$\bigl|\langle b |H|0\rangle\bigr|^2$

— Ніль де Бодорап

@ Мок-Конг Шен: якщо це не зрозуміло з моїх зауважень щодо неефективності чи повільності, зазвичай вважається, що квантові комп'ютери є більш обчислювально потужнішими, у сенсі того, що можна обчислити швидше . Я звертався до факту, що вони не в змозі обчислити речі, які класичний комп'ютер також не міг обчислити (де я знижую поняття "гортання монети" як обчислення).

— Ніль де Бодорап

Розглянемо квантові ворота. Згладжування всіх технічних деталей, вона може бути представлена у вигляді матриці . Вхід до воріт, скажімо просто вектор , а вихід з воріт вектор . $G$ $\vert \phi \rangle$ $v$ $Gv$

Тепер розглянемо схему. Схема є просто набором вентилів , а саму схему можна розглядати як "узагальнений затвор" , який працює на вхідному стані (вектор ). [Знову ж таки, це дуже груба абстракція.] $\{G_1, G_2, ... \}$ $C=G_n \cdots G_2 G_1$ $v$

Таким чином, обчислення схеми на вході , є лише обчислення вектора або . Зрозуміло, що таке завдання (множення матриці та множення матриці на вектор) може бути виконане класичною ТМ, отже, ТМ принаймні настільки ж сильна, як квантова ТМ (QTM) [ок, класичні схеми настільки ж сильні, як квантові схеми. ніколи цього не пам'ятаю.] $\vert \phi \rangle$ $Cv$ $G_n \cdots G_2 G_1 v$

З іншого боку, QTM тривіально настільки ж сильний, як TM, і тому обидві моделі рівноцінні.

EDIT завдяки коментарям
Для того, щоб запитати, який "комп'ютер" є більш потужним, нам потрібно спочатку уточнити, що означає бути більш "обчислювально потужним". І ця напівфілософська дискусія починається з питання

Що таке обчислення ?

Чи файли "відтворення MP3" - це обчислення? Чи є виведення випадкових чисел обчисленням?

Стандартне визначення говорить, що обчислення - це "обчислення функції". Тобто для кожного вводу (яким може бути будь-який рядок будь-якої кінцевої довжини) виведіть , де знову може бути рядок довільної (кінцевої) довжини. Якщо ваш комп'ютер може вивести для будь-якого , ми говоримо, що він може обчислити . $x$ $y=f(x)$ $y$ $y$ $x$ $f$

Тепер, щоб сказати , що комп'ютер «А» є більш потужним , ніж «B» просто означає , що обчислює більше функцій , ніж . Аналогічно $f$ $B$

Дві моделі, і вважаються еквівалентними , якщо для будь-якої функції , обчислює тоді і тільки тоді , коли обчислює . $A$ $B$ $f$ $A$ $f$ $B$ $f$

Добре, ви кажете, але зачекайте секунду, відбувається рандомізація .. Квантовий комп'ютер не просто виводить . Він виводить з ймовірністю , або з ймовірністю , або .... $y$ $y_1$ $p_1$ $y_2$ $p_2$ $^0$

Дійсно .. І це розширює стандартне визначення обчислення функції. Ми можемо це вирішити і узагальнити наші визначення кількома способами. (1) Один варіант - сказати, що відповідь - це те, що конкретно яке має ймовірність (і є максимум одне таке значення) . Якщо ми припустимо, що видає лише один біт, то "вихід завжди добре визначений В іншому випадку, якщо такого значення не існує, і всі виходи мають малу ймовірність, можна сказати $f(x)$ $y_i$ $p_i>0.75$ $^1$ $f$ $f(x)$ $^2$ $f$ не визначено на цьому вході; (2) Другий варіант повинен сказати , що вихід список . Щоб це було чітко визначено, ми повинні мати кінцевий список, оскільки нам потрібно, щоб вихідний рядок був кінцевим. $f(x)$ $(y_1,p_1), (y_2,p_2),...$

З усього вищесказаного повинно бути зрозуміло, що наявність ймовірностей не змінює потужність моделі, і класична ТМ може просто вивести список можливих виходів разом з ймовірністю для кожного виходу. саме так відбувається, коли ТМ множить матриці та виводить вектор - вектор представляє ймовірність кожного можливого виходу вимірювання.

^{$^0$

$^1$ $p=0.75$ $1/2$

$^2$ $f$}

— Ран Г.
джерело

Я міг би програмувати матричні обчислення на класичному комп'ютері, але не знаю, як написати код для імітації квантових обчислень. Все одно мені знадобляться квантові шматочки. Квантовий біт має 2 значення, що зазвичай позначаються альфа і бета. Які значення слід використовувати? Дивіться також мій коментар до відповіді Ніль де Бодорап щодо випадку генерації випадкових чисел.

— Mok-Kong Shen

| ψ ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩

$\def\ket#1{|#1\rangle}\ket\psi = \alpha\ket0 + \beta\ket1$

ψ ψ = [α β]^{⊤}

$\pmb\psi = [\alpha\quad\beta]^\top$

@Niel de Beaudrap: Але коли я пишу код для імітації певного квантового обчислення, наприклад, генерацію випадкових чисел, про яку я згадав, мені потрібно реалізувати модельовані квантові біти на класичному комп'ютері. Я не знаю, як написати код, щоб це зробити, не знаючи значень цих коефіцієнтів.

— Mok-Kong Shen

@ Mok-Kong Shen: справа в тому, що під час виконання, ви знаєте; і проблема точно така ж, як вибірка з класичного розподілу ймовірностей, який задається на вході, тобто зводиться до добре вивчених проблем у випадковому відборі. Наприклад, тут застосовуються методи Монте-Карло.

— Ніль де Бодорап

@ Mok-KongShen Будь ласка, не використовуйте коментарів (особливо до чужих публікацій) для розширених дискусій. Перейдіть до чату або в загальній кімнаті для цього сайту, або в чаті, створеній для цього.

— Жил "ТАК - перестань бути злим"

інші відповіді справедливі, просто хочу додати той, який підкреслює, що це справді дуже глибоке (в основному все ще відкрите / невирішене) питання в основі багатьох сучасних досліджень розділення класів складності та квантових та класичних обчислень. вони функціонально еквівалентні, наскільки ТМ і комп’ютери QM підтверджені Тьюрінгом ; Є кілька способів довести це.

але еквівалентність в теорії складності дуже залежить від тонкощів / ефективності часу та простору, тобто ресурсів для обчислення конкретних алгоритмів. а також існує величезна кількість досліджень, що розглядають "шум" в обчисленнях КМ, які вважають, що теоретичні безшумні моделі можуть бути не "реальними" або досяжними на практиці, а реальні моделі можуть / матимуть значний шум. існують складні схеми пом'якшення цього шуму тощо; Є кілька чудових коментарів до цього у різних публікаціях у блозі RJ Liptons, наприклад, літаючі машини 21 століття

наприклад, було доведено, що факторинг знаходиться в BQP, класі квантових алгоритмів, який працює за P час, Шор - у відомому доказі того, що в той час також було запущено велику кількість серйозних досліджень / пошуку в обчисленнях QM через драматичні результат.

$\stackrel{?}{=}$

Скотт Ааронсон - чудовий письменник / дослідник Subj і написав деякі документи, доступні для мирян. див., наприклад, Обмеження комп'ютерів QM, обчислення SciAm або QM обіцяє нові відомості, Нью-Йорк .

— взн
джерело

Зауважте, борона aram є провідним скептиком проблем, пов'язаних із швидкістю обчислення QM. ще одне хороше місце для початку, блог RJ Lipton, вічний рух 21 століття?

— vzn