Як послідовність означає, що евристика також допустима?

Евристична функція $h (n)$ - це ...

• Послідовно, якщо орієнтовна вартість від вузла до цілі не більша, ніж ступінчаста вартість його наступника плюс розрахункова вартість від наступника до мети.n $n$$n'$
• Допустимо, якщо ніколи не завищує справжню вартість до стану мети.$h(n)$

У підручнику мого курсу «Штучний інтелект» зазначається, що послідовність є сильнішою за допустимість, але це не доводить, і у мене виникають проблеми з математичним поясненням.

Щоб підтвердити твердження у вашому запитанні, дозвольмо нам довести, що послідовність передбачає допустимість, тоді як навпаки не обов'язково вірно. Це зробило б консистенцію сильнішою умовою, ніж остання.

Послідовність передбачає допустимість:

Почнемо з підкреслити , що , якщо евристичний функція ч є допустимою (де т є мета) , так як крайові витрати передбачаються невід'ємним і , таким чином, вартість оптимальної від одного вузла до самого себе обов'язково 0 Це, безумовно, справедливо у випадку, якщо евристична функція є допустимою, але ми хочемо довести, що послідовність обов'язково передбачає прийнятність . Для цього давайте припустимо, що h ( t ) = 0 для будь-якої мети --- і цей факт буде використаний у нижньому базовому випадку.$h(t)=0$$h$$t$$h(t)=0$

Доведення триває шляхом індукції:

Базовий випадок : візьміть будь-якого попередника вузла цілі . Нехай n позначає це, так що t є наступником n . Якщо евристична функція послідовна , то h ( n ) ≤ c ( n , t ) + h ( t ) = c ( n , t ) + 0 = c ( n , t ) і, отже, h в цьому випадку поводиться допустимо.$t$$n$$t$$n$$h(n)\leq c(n,t) + h(t)=c(n,t) + 0 =c(n,t)$$h$

Зверніть увагу , що базовий випадок не передбачає , що край обов'язково є оптимальним рішенням від п до т , і, дійсно, може бути інший шлях від п до т з меншими витратами. Важливість базового випадку полягає в тому, що h ( n ) ≤ c ( n , t ) для всіх предків вузла t ! Цей результат буде повторно використаний на етапі індукції.$\langle n, t\rangle$$n$$t$$n$$t$$h(n)\leq c(n,t)$$t$

Крок індукції : розглянемо вузол . Оптимальна вартість досягнення мети t з n , h ∗ ( n ) обчислюється як: min m ∈ S C S ( n ) { c ( n , m ) + h ∗ ( m ) } , де S C S ( n ) - сукупність наступників вузла n . Як консистенція$n$$t$$n$$h^*(n)$$\min_{m\in\mathrm{SCS(n)}}\{c(n,m)+h^*(m)\}$$\mathrm{SCS}(n)$$n$передбачається гіпотезою, тоді . Крім того, як h ( n ′ ) ≤ h ∗ ( n ′ ) передбачається на етапі індукції, то h ( n ) ≤ c ( n , n ′ ) + h ∗ ( n ′$h(n)\leq c(n,n')+h(n')$$h(n')\leq h^*(n')$$h(n)\leq c(n,n')+h^*(n')$ і це справедливо для всіх наступників вузла n . Іншими словами: h ( n ) ≤ min m ∈ S C S ( n ) { c ( n , m ) + h ∗ ( m ) } = h ∗ ( n ) , так що h ( n ) ≤ h ∗ ( n ) .$n'$$n$$h(n)\leq \min_{m\in\mathrm{SCS(n)}}\{c(n,m)+h^*(m)\} = h^*(n)$$h(n)\leq h^*(n)$

Прийнятність не обов'язково означає послідовність:

Для цього достатньо простого прикладу. Розглянемо граф , який складається з однієї колії з 10 вузлами: , де метою є п 9 . Будемо вважати , без втрати спільності , що всі витрати краю рівні 1. Очевидно ч * ( п 0 ) = 9 , і давайте ч ( п 0 ) = 8 , ч ( п я ) $\langle n_0, n_1, n_2, ..., n_9\rangle$$n_9$$h^*(n_0)=9$$h(n_0)=8$ і h ( n 9 ) = 0 . Зрозуміло, що евристична функціядопустима:$h(n_i)=1, 1\leq i<9$$h(n_9)=0$

1. $h(t)=0$
2. , ∀ i , 1 ≤ i < 9 .$h(n_i)=1\leq h^*(n_i)=(9-i)$$\forall i, 1\leq i<9$
3. Нарешті, .$h(n_0)=8\leq h^*(n_0)=9$

Однак не є послідовним і h ( n 0 ) = 8 > c ( n 0 , n 1 ) + h ( n 1 ) = 1 + 1 = 2 .$h(n)$$h(n_0)=8 > c(n_0, n_1)+h(n_1)=1+1=2$

Сподіваюся, це допомагає,