Питання, що стосується машини Тьюрінга з марним станом

Гаразд, ось питання з минулого тесту в моєму класі Теорія обчислень:

Непридатний стан у ТМ - це стан, який ніколи не вводиться в жодному вхідному рядку. Нехай Доведіть, що можна визначити.U S E L E S S T

$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}} = \{\langle M, q \rangle \mid q \text{ is a useless state in }M\}.$$ $\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

Я думаю, що у мене є відповідь, але я не впевнений, чи правильно він. Включить його у розділ відповідей.

Це явно можна зменшити з проблеми зупинки. Якщо машина не зупиняється на вході то будь-який остаточний стан є "марним". З огляду на вхід для проблеми зупинки, легко побудувати який зупиняється на кожному вході (таким чином, його кінцевий стан не є марним) тоді і лише тоді, коли зупиняється на . Таким чином, ви можете вирішити проблему зупинки, якщо ви можете вирішити , що створює протиріччя.x M , x M x M x U S E L E S S T $M$$x$$M,x$$M_x$$M$$x$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

Для цілей цього доказу будемо вважати, що вирішується для відображення протиріччя.$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

Створіть TM який виконує наступні дії:$R$

• Звернені TM в магазинних автоматах з розслабленої стеком (тобто. Немає LIFO вимога). Це еквівалентно тому , орієнтований граф докладно перехід між станами «S.П $M$$P$$M$
• Відзначити початковий стан .$P$
• З початкового стану розпочніть пошук по ширині по всьому вихідному краю, що позначає кожен немаркований вузол.
• Коли пошук припиняється, якщо є якісь немарковані вузли, які відповідають , прийміть ; інакше відхилити .$q$

Потім створіть TM = "На вхід $$$S$

1. Створіть TM як показано вище.$R$
2. Запуск на .$q$$R$
3. Якщо повертає прийняти, прийміть ; якщо відхиляє, відхилити " $R$$R$

Таким чином, якщо є рішенням для тоді є рішенням для (проблема прийняття). Оскільки виявляється нерозбірливим (див. Теорію обчислень Майкла Сіпсера 4.11 на сторінці 174), ми дійшли до суперечності. Отже, початкова гіпотеза невірна і можна визначити.U S E L E S S T M S A T M A T M U S E L E S S T $R$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$$S$$A_{\mathrm{TM}}$$A_{\mathrm{TM}}$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$