Доведення DOUBLE-SAT завершено NP

Загальновідома проблема SAT тут визначена для довідок.

Проблема DOUBLE-SAT визначається як

$\qquad \mathsf{DOUBLE\text{-}SAT} = \{\langle\phi\rangle \mid \phi \text{ has at least two satisfying assignments}\}$

Як ми можемо довести, що він є повним NP?

Буде оцінено не один спосіб доказування.

Ось одне рішення:

Очевидно, що Double-SAT належить до , оскільки NTM може вирішити Double-SAT наступним чином: На булевій формулі введення ϕ ( x 1 , … , x n ) невідповідально відгадуйте 2 завдання та перевіряйте, чи задовольняють обидва ϕ .${\sf NP}$$\phi(x_1,\ldots,x_n)$$\phi$

Щоб показати, що Double-SAT є завершеним, ми приводимо скорочення від SAT до Double-SAT таким чином:${\sf NP}$

На вході :$\phi(x_1,\ldots,x_n)$

1. Введіть нову змінну .$y$
2. Формула виводу .$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y) = \phi(x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$

Якщо належить SAT, то ϕ має щонайменше 1 задовольняюче завдання, і тому ϕ ′ ( x 1 , … , x n , y ) має щонайменше 2 задовольняючих завдання, оскільки ми можемо задовольнити новий пункт ( y ∨ ˉ y ) шляхом присвоєння або y = 1, або y = 0 новій змінній y , так ϕ ′ ( $\phi (x_1,\ldots,x_n)$$\phi$$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y)$$y \vee \bar y$$y = 1$$y = 0$$y$$\phi'$ , ..., x n , y ) ∈ Double-SAT.$x_1$$x_n$$y$$\in$

З іншого боку, якщо , то чітко ϕ ′ ( x 1 , … , x n , y ) = ϕ ( x 1 , … , x n ) ∧ ( y ∨ ˉ y ) також не має задовольняючого завдання, тому ϕ ′ ( x 1 , … , $\phi(x_1,\ldots,x_n)\notin \text{SAT}$$\phi' (x_1,\ldots,x_n, y) = \phi (x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$ .$\phi'(x_1,\ldots,x_n,y) \notin \text{Double-SAT}$

Отже, , а значить, Double-SAT є N P -комплект.$\text{SAT} \leq_p \text{Double-SAT}$${\sf NP}$

Ви знаєте, що є NP-завершеним. Чи можете ви знайти скорочення від S A T до D O U B L E - S A T ? Тобто чи можете ви маніпулювати задоволеною формулою, щоб результат мав щонайменше два задовольняючих завдання? Зауважимо, що однакова маніпуляція не може зробити незадовільними формули, що відповідають вимогам.$\mathsf{SAT}$$\mathsf{SAT}$$\mathsf{DOUBLE\text{-}SAT}$

Для будь-якої формули формула φ ∨ f ( φ ) має щонайменше вдвічі більше задовольняючих припущень як φ , з f гомоморфізмом, який перейменовує всі змінні в нові імена.$\varphi$$\varphi \lor f(\varphi)$$\varphi$$f$