Унікальні тріангуляційні дуали простих багатокутників

З огляду на триангуляцію (без точок Штейнера) простого многокутника , можна вважати дуалом цієї триангуляції, який визначається наступним чином. Ми створюємо вершину для кожного трикутника в нашій триангуляції і з'єднуємо дві вершини, якщо відповідні трикутники розділяють ребро. Подвійний графік, як відомо, є деревом з максимальним ступенем три.$P$

Для моєї заяви мене цікавить наступне. З огляду на дерево з максимальним ступенем три, є завжди простий багатокутник таке , що пов'язане кожна тріангуляція (без точок Штейнера) з одно . Тут тріангуляція може бути не унікальною, але я вимагаю, щоб подвійний графік був унікальним.$T$$P$$P$$T$$P$

Це, безумовно, вірно, коли - шлях, але стає незрозумілим, коли у вас є вершини ступеня три.$T$

Дав дерево $T$ з максимальним ступенем три, чи завжди є простий багатокутник $P$ таким, що дуал кожної тріангуляції (без точок Штейнера) з $P$ дорівнює $T$?

Так. Щоб показати це, я наведу процедуру, щоб отримати, здавалося б, трохи сильніший результат *:

Дав дерево $T$ з максимальним ступенем три побудуйте простий багатокутник $P$, Таким чином, що унікальна тріангуляція з$P$ (без очок Штейнера) має $T$ як його подвійний.

Почніть зі створення початкового трикутника $\Delta_0$, що представляє деяку вершину $v_0$ в $T$ і додати $v_0$ до черги $Q$. Потім повторюйте наступне, доки$Q$ пусто:

• Поставте верхній елемент, $v$, з черги.
• Для кожної сусідньої вершини $w$ те, для якого ми ще не поставили трикутник, виберемо сторону $AB$ трикутника $\Delta_v$ і крапка $D$ всередині конічних областей, породжених лінією наскрізь $AB$ і сусідні її відрізки, такі, що трикутник $\Delta ABD$не перетинає жодних інших трикутників. (Дивіться рисунок нижче) Встановити$\Delta_w\leftarrow\Delta ABD$ і додати $w$ до $Q$.

Це зображення дає приклад можливого багатокутника $P$ (зліва) для даної $T$ (праворуч)

Щоб зрозуміти, чому ця процедура працює, спочатку зауважте, що після створення нового трикутника, відрізки $AB$ і $AD$ генерують конус, який має не порожню область, що не перетинається з існуючими трикутниками (див. також попередню фігуру), тому ми можемо знайти підходящу точку на кожному кроці та створити багатокутник.

По-друге, ми обрали трикутники, такі, що відрізок між ними $CD$ не повністю лежить всередині $P$. Якщо існує кутова точка$Q \notin \{B,D\}$ з уже розміщених трикутників таких, що $DQ$ повністю в $P$, то він повинен лежати всередині конусів, породжених $AD$ і $BD$. Однак оскільки частина цього конуса не лежить всередині$\Delta ABD$ міститься в конусі, породженому раніше розміщеним трикутником, таким як $Q$існує лише за наявності аналогічної точки для розміщеного раніше трикутника. Оскільки для першого трикутника не існує такої точки, це означає, що немає жодного трикутника, який ми додамо.

Це означає, що всі пари $(X,Y)$ будь-якої кутової точки $P$ для якого сегмент $XY$ повністю міститься в $P$ вже в побудованій тріангуляції, тому триангуляція є унікальною для $P$ (усі триангуляції додають однакову кількість внутрішніх сегментів)

Зауважимо, що багатокутники, побудовані за цим методом, мають тенденцію мати досить гострі кути. Я підозрюю, що для довільних великих графіків потрібні багатокутники з довільними невеликими кутами, що може бути проблемою при малюванні цих многокутників з кінцевою точністю.

_{*: Різниця полягає в тому, що, якщо ми інтерпретуємо "унікальний" як ізоморфізм (що відповідає унікальності триангуляцій і дуалів, що відрізняються), ми будемо гаразд з багатокутником, що має безліч триангуляцій, у яких всі ізоморфні дуали. Однак можна приєднати більше трикутників до цих багатокутників, щоб деякі дуали більше не були ізоморфними.}