Зменшення максимального потоку до двосторонньої відповідності?

Існує відоме і елегантне скорочення від максимальної задачі двостороннього відповідності до проблеми максимального потоку: ми створюємо мережу з вихідним вузлом , кінцевим вузлом і одним вузлом для кожного елемента, який повинен відповідати, а потім додаємо відповідні краї.$s$$t$

Безумовно, існує спосіб зменшити максимальний потік до максимального співпадіння між двома частинами за час полінома, оскільки обидва вони можуть бути вирішені поодиноко за багаточлен. Однак чи існує "приємне" скорочення поліноміального часу від максимуму потоку (в загальних графах) до максимального двопартійного зіставлення?

Як не дивно, не відомо таке скорочення. Однак в недавньому документі Мадрі (FOCS 2013) показав, як зменшити максимальний потік у графіках пропускної здатності до (логарифмічно багатьох примірників) максимуму$b$-збіг у двопартійних графіках.

У випадку, якщо вам невідомий максимум $b$- відповідність задачі, це узагальнення відповідності, що визначається так: вхід - це графік (у нашому випадку двосторонній графік), $G=(V,E)$і набір інтегральних вимог до кожної вершини, з попитом вершини $v$ позначається через $b_v$. Мета - знайти якомога більший набір ребер$S$ такий, що немає вершини $v$ має більше, ніж $b_v$ краї в $S$ інцидент на $v$. Це проста вправа узагальнити скорочення від двопартійного узгодження до максимальних потоків і показати аналогічне зниження від двопартійного$b$-відходження до максимальних потоків. (Один із) дивовижних результатів статті Мадрі полягає в тому, що в певному сенсі ці проблеми є рівнозначними, що дає просте скорочення, що зменшує максимальний потік у графіках одиничної ємності (як правило, графіки, де сума потужностей,$|u|_1$ лінійна кількість ребер, $m$) до а $b$-відбір задачі в графіку з $O(m)$ вузли, вершини та сума вимог.

Якщо вас цікавлять деталі, дивіться розділ 3, до Теореми 3.1 та розділу 4 (та доказ коректності у Додатку С) до версії ArXiv до статті Мадрі, тут . Якщо термінологія не є само собою зрозумілою, див. Розділ 2.5 для резюме, що стосується$b$-відповідність проблеми, і пам’ятайте про це $u_e$ - ємність кромки $e$ в оригінальному екземплярі максимального потоку.

Тож ось спробуйте відповісти на ваше запитання:

Теорема Коніга про двосторонні збіги доводилась і, отже, зменшувалась за допомогою теореми Макс-Потоку Мін-Різа. Теорема Коніга констатує наступне. Якщо G двосторонній графік, то макс {| M | : M - відповідність} = min {| C | : C - обкладинка}. Доказ. Максимальна частина {| M |} ≤ {| C |} тривіальна. Нехай P і Q - класи дворозділу G. Ми додаємо дві вершини, r і s до G, і дуги rp для кожної$p\in P$ і qs для кожного $q \in Q$, а прямий край pq від $p\in P$ до $q\in Q$. Це диграф$G_{∗}$. Визначимо ємності u (rp) = 1, u (pq) =$\infty$, u (qs) = 1. Нехай x є можливим інтегральним потоком x, тоді x (e) = 0 або 1, тож ми можемо визначити M = {$e \in E$: x (e) = 1}. M - відповідність з | M | =$f_{x}$. Далі, відповідність M у G породжує можливий інтегральний потік x in$G_{∗}$ зі значенням потоку $f_{x}$= | М | наступним чином. Визначте x (pq) = 1, якщо$pq \in M$, x (rp) = 1, якщо p інцидент на ребро в M, x (qs) = 1, якщо q трапляється на край у M, у всіх інших випадках x (e) = 0. Таким чином, максимальний розмір відповідає M в G відповідає максимальному потоку в $G_{∗}$, розмір якого дорівнює мінімальному розрізу за теоремою Max-Flow Min-Cut. Розглянемо мінімум r - s розрізу δ (R). Він має обмежену ємність, тому не містить дуги pq. Тоді кожен край G інцидентується з елементом C = (P \ R)$\cup (Q \cap R)$, тобто C - покриття. Більше того, u (C) = | P \ R | +$|Q \cap R|$ і тому С - кришка розміром | M |.

Я маю на увазі, це все, на мою думку, що ви задали в питанні, і це моя потенційна відповідь :).