Як виміряти складність задачі дискретного логарифму?

Відповіді на це запитання на Crypto Stack Exchange в основному говорять про те, що для вимірювання складності проблеми логарифму ми повинні взяти до уваги довжину числа, що представляє розмір групи. Це здається довільним, чому б ми не обрали розмір групи як аргумент? Чи є критерій, щоб знати, який аргумент обрати? Насправді я знаю, що я пропустив щось важливе, оскільки складність сильно змінюється, якщо ми робимо це за розміром групи.

Не має значення, чи ви обираєте розмір групи $|G|$ або розмір цілого числа, що представляє його $n$ як параметр, оскільки $n \approx \log |G|$. Є дві причини, за якими складність зазвичай описується в термінах$n$ а не $|G|$:

1. $n$ - довжина вводу (точніше, вхід має довжину $\Theta(n)$), і ми зазвичай вимірюємо складність алгоритмів як функцію від вхідної довжини.

2. Зазвичай $n$ це невелика кількість, таких як $1024$, тоді як $|G|$ це величезна кількість, наприклад (приблизно) $2^{1024}$.