Наскільки потужні CFG, які дозволяють нескінченну кількість правил?

Нещодавно мені було цікаво, що буде, якщо ми дозволимо без контекстних граматик мати нескінченну кількість правил. Зрозуміло, якщо ми дозволимо довільні такі нескінченні набори правил, кожна мова$L$ над деяким алфавітом $\Sigma$ можна описати CFG $G = (\{S\},\Sigma,R,S)$ з $R = \{S \rightarrow w \mid w \in L \}$. Але що робити, якщо ми обмежимось$R$ до таких наборів правил, які можна створити контекстними граматиками?

Для цього дається набір нетерміналів $N$ і термінали $\Sigma$, розглянемо правила не як елементи $N \times (N\cup \Sigma )^*$, але як рядки над алфавітом $R_{(N,\Sigma)} = N \cup \Sigma \cup \{\rightarrow\}$. Тепер моє питання полягає в тому, якщо ми визначимо нескінченне правило CFG як кортеж$G = (N, \Sigma, R, S)$ де

• $N$ є кінцевим набором нетерміналів
• $\Sigma$ є кінцевим алфавітом
• $R$ - це сукупність правил форми $A \rightarrow w$ з $A \in N$, $w \in (N \cup \Sigma)^*$ такі, що є якісь CFG $G'$ над $R_{(N,\Sigma)}$ з $R = L(G')$
• $S \in N$ є початковим нетермінальним

і ми визначаємо $L(G)$ для таких нескінченних правил CFG, як це робиться для CFG, яке співвідношення між класом мов, породженим нескінченними CFGs правилами (назвемо цей клас $irCF$), клас безконтекстних мов $CF$ і клас $RE$?

Очевидно, що у нас є $CF \subseteq irCF \subseteq RE$, але є $irCF$ еквівалентний одному з цих класів (або якийсь інший клас)?

Припустимо, ми беремо метаграму $G'$і розподілити його за допомогою двох символьних префіксів. Іншими словами, для кожного$A \in N$ побудувати $G'_A$, ліво-похідне від $G'$ над струною $A \to$. Це створить (скінченний) набір (кінцевих) метаграм, кожен з яких виробляє всі (можливо нескінченні) виробництва для деяких$A \in N$.

Тепер побудуйте граматику $G''$, правила яких є об'єднанням усіх правил у $G'_A$ граматики (з нетерміналами, перейменованими для уникнення зіткнень) разом із $A \to S_{G'_A}$ для кожного $G'_A$, де $S_{G'_A}$ є нетермінальним запуском для $G'_A$. Нетермінали для$G''$ включати $N$ і всі нетермінали для кожного $G'_A$; нетермінал початку - це нетермінал початку$G$, і термінали для $G''$ є саме клемами для $G$. Я стверджую (без доказів), що$G''$є кінцевою граматикою для тієї самої мови, оскільки на процес деривації не впливає походження правил; це лише підстановка рядків над алфавітом.

Якщо наведений вище конспект є коректним, $CF$ і $irCF$ однакові.

Як я нагадав у коментарі, є більш цікаві приклади дворівневих граматик, зокрема граматики Ван Війнгаарда та різні спроби, які були зроблені для створення більш керованих формалізмів, не втрачаючи при цьому всієї додаткової сили.