Зменшіть наступну проблему до SAT

Ось проблема. Дано , де кожен . Чи є підмножина розміром не більше таким, що для всіх ? Я намагаюся звести цю проблему до SAT. Моєю ідеєю рішення було б мати змінну для кожного з 1 до . Для кожного створіть пункт якщо . Потім і всі ці пункти разом. Але це явно не є повноцінним рішенням, оскільки воно не представляє обмеження, щоT i ⊆ { 1 , … , n } S ⊆ { 1 , … , n } k S ∩ T i ≠ ∅ i x i n T i ( x i 1 ∨ ⋯ ∨ x i k ) T i = { i 1$k, n, T_1, \ldots, T_m$$T_i \subseteq \{1, \ldots, n\}$$S \subseteq \{1, \ldots, n\}$$k$$S \cap T_i \neq \emptyset$$i$$x_i$$n$$T_i$$(x_{i_1} \vee \cdots \vee x_{i_k})$S $T_i = \{i_1, \ldots, i_k\}$$S$повинно мати не більше елементів. Я знаю, що треба створити більше змінних, але я просто не впевнений, як. Тож у мене є два питання:$k$

1. Моя ідея рішення на вірному шляху?
2. Як слід створити нові змінні, щоб їх можна було використати для представлення обмеження kardinality ?$k$

Схоже, ви намагаєтеся обчислити поперечний гіперграф розміром . Тобто { T 1 , … , T m } - ваш гіперграф, а S - ваш поперечний. Стандартний переклад полягає в тому, щоб висловити пропозиції, як у вас є, а потім перекласти обмеження довжини в обмеження для кардинальності.$k$$\{T_1,\dots,T_m\}$$S$

Тому використовуйте наявне кодування, тобто а потім додайте пропозиції кодування .$\bigwedge_{1 \le j \le m} \bigvee_{i \in T_j} x_i$$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$ - обмеження кардинальності. У SAT є різні різні переклади обмеження кардинальності.

Найпростіший, але досить великий переклад обмеження для кардинальності - це просто . Таким чином , кожен диз'юнкція являє собою обмеження - для всіх підмножин з розміром до + 1. Тобто ми гарантуємо, що немає можливості встановити більше k змінних. Зауважимо, що це не многочленний розмір у ¬ ⋀ i ∈ X x i X { 1 , … , n } k$\bigwedge_{X \subseteq \{1,\dots,n\}, |X| = k+1} \bigvee_{i \in X} \neg x_i$$\neg \bigwedge_{i \in X} x_i$$X$$\{1,\dots,n\}$$k$

Деякі посилання на документи про більш просторові трансляції обмежень для кардинальності, які мають поліном в$k$ :

• Переклад псевдобулевих обмежень у SAT - Ніклас Еен та Ніклас Шьоренсон, JSAT т. 2 (2006), стор. 1-26 (гарне опитування).
• Ефективне кодування CNF булевих обмежень кардинальності - Олів'є Байє та Ясін Буфкхад, Збірник принципів та практики програмування обмежень 2003, LNCS том 2833, стор 108-122 (приємний, досить простий у здійсненні переклад).
• На шляху до оптимального CNF, що кодує булеві обмеження кардинальності - Карстен Сінц - Праці принципів та практики програмування обмежень 2005, LNCS 3709, pg 827-831.
• Надію на надійні кодування CNF обмежень кардинальності - Жоао Маркіс-Сільва та Інк Лінс, Матеріали принципів та практики програмування обмежень 2007, LNCS 4741, стор 483-497.

Якщо ви насправді зацікавлені у вирішенні подібних проблем, можливо, краще сформулювати їх як псевдобулеві проблеми (див. Статтю у вікі про псевдобулеві проблеми ) та використовувати псевдобулеві розв’язувачі (див. Псевдобулеву конкуренцію ). Таким чином обмеження кардинальності є лише псевдобулевими обмеженнями і є частиною мови - сподіваємось, псевдобулевий розв'язувач потім обробляє їх безпосередньо та, отже, більш ефективно.

$k$

$\Gamma_{2,1}^{+}$$\Gamma_{2,1}^{+}$

Я припускаю, що ви шукаєте явного скорочення, але якщо ні, ви завжди можете просто повернутися до теореми Кука-Левіна .