Підтвердження невирішеності проблеми зупинки

У мене виникають проблеми з розумінням доказів нерозбірливості проблеми зупинки.

Якщо повертає програма чи ні а привали на вході б , то чому ми повинні передати код P і для а і б ?$H(a,b)$$a$$b$$P$$a$$b$

Чому ми не можемо подати з P та деяким довільним введенням, скажімо, x ?$H()$$P$$x$

Доказ має на меті знайти протиріччя. Ви повинні зрозуміти, що таке протиріччя, щоб зрозуміти, чому використовується як вхід до себе. Суперечність полягає в неофіційному: якщо у нас є машина H (a, b), яка вирішує "a accept b", то ми можемо побудувати машину, яка приймає машини, які не приймають себе. (Read , що кілька разів , поки ви НЕ отримаєте.) Машина , вказаний на зображенні - давайте назвемо його M - M ( P ) = це P не приймає ⟨ P ⟩ ?$P$$M$$M(P) =$$P$$\langle P \rangle$

Протиріччя відбувається , коли ви запитаєте: це приймає ⟨ M ⟩ ? Спробуйте опрацювати два варіанти, щоб побачити, як існує суперечність.$M$$\langle M \rangle$

приймає ⟨ M ⟩ тоді і тільки тодіколи M не приймає ⟨ M ⟩ ; це явно суперечність.$M$$\langle M \rangle$$M$$\langle M \rangle$

Ось чому для доказування важливо виконати на собі, а не якийсь довільний ввід. Це поширена тема в доказах неможливості, відомих як діагональні аргументи.$P$

На хвилину проігноруйте малюнок; ми незабаром дістанемося до цього. Програма повинен бути привал тестер: коли ми даємо H вхід програми а (думати про як лістинг програми) і взагалі нічого для Ь , Н ( , б ) діє так$H(a, b)$$H$$a$$a$$b$$H(a, b)$

1. Якщо програма представлена привалах , коли дається б в якості вхідних даних, H ( , б ) буде відповідати «так». З іншого боку, якщо програма описується через пробіги назавжди , коли не задані вхідні Ь , то H ( , б ) буде відповідати «ні».$a$$b$$H(a, b)$$a$$b$$H(a, b)$
2. Важливо, що програма завжди зупиняється і дасть правильну відповідь для будь-яких пар ( a , b ) .$H$$(a, b)$

Аргумент про те, що неможливо побудувати, покладається на дію певної "збоченої" програми Р , тієї, яка використовує Н як підпрограму. P приймає в якості списку будь-яку програму, x , і робить наступне:$H$$P$$H$$P$$x$

P(x) =
  run H(x, x)
  if H(x, x) answers "yes"
      loop forever
  else
      halt

Це не важко побачити

зупиняється тоді і лише тоді, коли програма x буде працювати назавжди, коли давати власний опис як вхідний.$P(x)$$x$

Поки що добре: , безумовно, буде програмою , якщо її підпрограма H - це програма.$P$$H$

Тепер поверніться до картини. Що станеться, якщо дано власний опис як вхідний? Малюнок описує саме такий сценарій: Нехай p - опис програми P , тоді, замінюючи виділену вище частину, у нас буде$P$$p$$P$

зупиняється тоді і лише тоді, коли програма P ( p ) буде працювати вічно.$P(p)$$P(p)$

Зрозуміло, що ця парадоксальна поведінка неможлива, тому ми змушені зробити висновок, що підпрограма не може бути тестером зупинки, оскільки вона не спрацьовує в одному випадку, коли вона введена ( p , p ) як вхід. Можуть бути й інші випадки, коли Н працює як слід, але оскільки H не працює принаймні в одній ситуації, він не може бути повним тестером зупинки, як потрібно.$H$$(p, p)$$H$$H$

Спробуйте гарніший доказ з анімацією. А оскільки ansewrs має містити більше, ніж просто посилання на сайт, ось відповідь на ваше запитання.

Спочатку згадаймо, як працює доказ існування оракула Халтінг. Ми доводимо, що з урахуванням будь-якого кандидата Hна оракул Halting є програма Pта вхід, aдля яких Hне можна правильно передбачити, що P(a)робить.

Теорема: Нехай Hбудь-яка програма, яка бере два входи і завжди повертає haltабо loop. Тоді існує програма Qі вхід aтакий, що Q(a)зупиняє, якщо і тільки тоді, H(Q,a)повертається loop.

Доказ. Розгляньте програму

program P(y):
  if H(y,y) = halt then
    loop forever
  else:
    return

Нехай Q = Pі a = P. Або H(Q,a) = haltабо H(Q,a) = loop:

• якщо H(Q,a) = haltтоді Q(a)(що просто P(P)) працює вічно за визначенням P.
• якщо H(Q,a) = loopтоді Q(a)зупиниться на дефінітоїні P.

QED

Ви запитали, чому ми розглядаємо H(P,P)замість H(P,X)когось іншого X. Очевидна відповідь - «бо H(P,P)це те, що змушує довести роботу»! Якби ви використовували H(P,X)якусь довільну X, то ви застрягли б. Дійсно, доказ виглядав би так:

Зламаний доказ. Розгляньте програму

program P(y):
  if H(y,y) = halt then
    loop forever
  else:
    return

Нехай Q = Pі a = Xдля деяких довільно X. Або H(Q,X) = haltабо H(Q,X) = loop:

• припустимо, H(Q,X) = haltтоді ми не можемо сказати, що P(X)робить, бо чи P(X)зупинки залежать від того, що H(X,X)повертається. Ми застрягли. Однак, якби ми це знали P(X)і X(X)були однаковими, ми могли б досягти прогресу. (Отже, ми насправді повинні брати X = P).
• якби H(Q,a) = loopтоді ми знову застрягли, і ми були б відклеєні, якби X = P.

Немає QED.

Я сподіваюся, що це свідчить про те, що ми повинні розглянути H(P,P), щоб наша ідея спрацювала.

Результатом підтвердження є така аналогія:

$P$$_{(P)}$$P^{\prime}$$_{(P^{\prime})}$$P$$_{(P)}$$_{(P)}$$_{(P)}$

$_{(P)}$$_{(P^{\prime})}$