Найближча пара точок між двома множинами, у 2D

Я маю два множини точок у двовимірній площині. Я хочу знайти найближчу пару точок таких, що , , а евклідова відстань між є якомога меншою. Наскільки ефективно це можна зробити? Чи можна це зробити в час, де? $S,T$ $s,t$ $s \in S$ $t \in T$ $s,t$ $O(n \log n)$ $n = |S|+|T|$

Я знаю, що якщо мені дано один набір , то можна знайти найближчу пару точок за час, використовуючи стандартний алгоритм ділення і перемоги . Однак цей алгоритм, схоже, не узагальнює випадок двох множин, оскільки немає зв'язку між відстані між двома найближчими точками в межах або проти відстані між двома найближчими точками в цих множинах. $S$ $s,s' \in S$ $O(n \log n)$ $S$ $T$

Я думав зберегти множину у -d дереві, а потім для кожного , використовуючи запит найближчого сусіда, щоб знайти найближчу точку в до . Однак найгірший час роботи цього може бути таким же поганим, як час . Є результати, які говорять про те, що якщо точки розподілені випадковим чином, тоді очікуваний час виконання кожного запиту дорівнює , тому ми отримаємо алгоритм із очікуваним часом виконання якщо ми були гарантовані, що бали розподіляються випадковим чином - але я шукаю алгоритм, який буде працювати для будь-якого збору балів (не обов'язково випадково розподілених). $T$ $k$ $s \in S$ $T$ $s$ $O(n^2)$ $T$ $O(\log n)$ $O(n \log n)$

Мотивація: ефективний алгоритм був би корисний для цього іншого питання .

algorithms computational-geometry

— DW
джерело

Відповіді:

Так, це може бути час . Побудувати діаграму Вороного для . Потім для кожної точки знайдіть, у якій комірці діаграми Вороного вона міститься. Центром цієї комірки є точка яка є найближчою до . $O(n \log n)$ $T$ $s \in S$ $t \in T$ $s$

Ви можете побудувати діаграму Voronoi за час , і кожен запит (знайти комірку, що містить ), може бути виконаний у час , тому загальний час роботи - час. $O(n \log n)$ $s$ $O(\log n)$ $O(n \log n)$

— DW
джерело

Приємно, набагато простіше, ніж те, що я міг придумати :).

— aelguindy

Гарний підхід! Хоча посилання допоможуть, особливо для запитів. Я міг би знайти сторінку Вікіпедії, яка показує, що загальну проблему розташування точки можна вирішити за

час, але чи є кращий спосіб для особливого випадку комірок Вороного? Мій пошук виявив лише цю відповідь , що робить це

способом.

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

— j_random_hacker

Складність проблеми точки розташування зазвичай задається у вигляді загальної кількості вершин (тут діаграма Вороного). Це число, ймовірно, більше, ніж кількість точок у

і навіть

. Я не впевнений, чи обмежена кількість вершин

, чи не так?

T

$T$

n = | S | + | T |

$n = |S| + |T|$

O (n)

$\mathcal{O}(n)$

— Albjenow

@Albjenow, я не впевнений, чи вирішує це ваше питання, але так, у двох вимірах, я вважаю, що кількість вершин у діаграмі Вороного на

точках дорівнює

(я, мабуть, пам'ятаю, це

або щось таке).

n

$n$

O (n)

$O(n)$

\leq 6 n

$\le 6n$

— DW

Це здається правильним щодо цього питання на math.stackexchange.

— Albjenow

~~Я розширюю свій коментар у відповідь, оскільки я з'ясував напівзадовільну відповідь.~~ Це вирішує лише проблему на -відстань. Ця відповідь в основному неправильна. $L^1$

У цій роботі вирішується задача пошуку найближчої пари точок у розмірах для випадку, коли множини розділені гіперплощиною в . $d$ $O(n \log^{d-1} n)$

Для двох вимірів це вирішує випадок у відповіді, на яку ви посилаєтесь, як на основну мотивацію вашого запитання в . Він також може бути використаний для вирішення загального випадку двовимірної задачі в . $O(n \log n)$ $O(n \log^2 n)$

Давши два множини точок у 2D, вбудуйте їх у тривимірний простір, перемістивши множину на деяку і встановивши на у напрямку . Вибір може бути зроблений таким, що не впливає на вибір найближчої пари точок, приймаючи меншим за точність вхідних точок (і подвоєння бітів точності для кожної вхідної координати). Скористайтеся алгоритмом 3D із цитованої роботи. $S, T$ $S$ $-\delta_z$ $T$ $\delta_z$ $z$ $\delta_z$ $\delta_z$

— aelguindy
джерело

+1, але кілька речей про цей документ (який я тільки що почав читати): (i) вони лише стверджують, що вирішують проблему для прямолінійного (Манхеттенського) випадку відстані; (ii) я не розумію, чому вони вважають, що регіон

на стор. 2 містить рівно 1 бал. Я припускав, що

- точка у

з медіаною y координат у , а

- точка у

з медіаною y координат у , але я не бачу, як вищезгадане може випливати з цього .

P_{2}

$P_2$

p_{m}

$p_m$

P

$P$ $P$

q_{m}

$q_m$

Q

$Q$ $Q$

— j_random_hacker

@j_random_hacker папір вирішує проблему лише на відстань L1, і ця відповідь неправильна :). І я думаю, що це буква

:).

l

$l$

— aelguindy

Посилання розірвано :(

— Keerthana Gopalakrishnan