Література про наївний підхід до ізоморфізму графа шляхом огляду поліномів матриць суміжності

Я описую підхід до грамотного ізоморфізму, який, ймовірно, має помилкові позитиви, і мені цікаво, чи існує література, яка свідчить про те, що вона не працює.

Беручи під увагу два суміжності матриці , за загальним визнанням наївним метод перевірки ізоморфізму , щоб перевірити , є чи для кожного рядка U з G , існує ряд v з G , який є перестановкою ряду ¯u , позначимо через G [ ¯u ] ~ H [ v ] . Трохи більш суворим є питання, чи існує "локальний ізоморфізм" π, для якого G [ u ] ∼ H [ π ( u ) $G, H$$u$$G$$v$$G$$u$$G[u] \sim H[v]$$\pi$$G[u] \sim H[\pi(u)]$для всіх рядів. Отримання локального ізоморфізму може бути зроблено в поліноміальний час побудови матрицю A з A [ ¯u , v ] = ( G [ U ] ~ Н [ v ] ) ; тоді G і H є локально ізоморфними iff A має циклічну оболонку, і кожне покриття циклу є локальним ізоморфізмом.$n\times n$$A$$A[u,v] = (G[u]\sim H[v])$$G$$H$$A$

$G^2, H^2, G^3, H^3,\ldots$$A[u,v] = 0$$G^k[u]\not\sim H^k[v]$та перевірка кришки циклу лише в кінці. Ще менш наївним підходом є пошук набору многочленів, справді набору арифметичних схем, і встановлення коли ми знаходимо будь-який многочлен з .$A[u,v]=0$$p$$p(G)[u]\not\sim p(H)[v]$

Мені це здається неймовірно наївним підходом до грамотного ізоморфізму, тому я впевнений, що хтось це вже дослідив і довів теорему, наприклад

Thm Для нескінченно багатьох є неізоморфні матриць і перестановка такі, що для кожного многочлена , і локально ізоморфні цією перестановкою: .$n$$n\times n$$G, H$$\pi$$p$$p(G)$$p(H)$$p(G)\overset{\pi}{\sim}p(H)$

Питання: Чи існує така теорема? Я шукав літературу і не можу її знайти.

Якщо існує обмеження на ступінь яка є поліномом в таким, що для кожної двох неізоморфних матриць локальний ізоморфізм спростовується обчисленням , або якщо є легко обчислюване сімейство поліномів , кожен з яких має поліноміально обмежену довжину, але, можливо, експоненціальну ступінь, то у нас є алгоритм P для ізоморфізму графіка. Якщо такі поліноми (або арифметичні схеми) легко здогадатися, то у нас є алгоритм coRP . Якщо завжди існує (сімейство) арифметичних схем, які свідчать про не локальний ізоморфізм, то це дає алгоритм coNP .$k$$n$$G^1, H^1, \ldots, G^{poly(n)}, H^{poly(n)}$$p_1, \ldots ,p_k$

Зауважимо, що ми можемо уникнути проблеми, що записи матриць високої потужності зростають занадто великими, обчислюючи поліноми на малих полях, наприклад, обчислюючи їх за модулем малих прайме. У CONP алгоритму, яка доводить може забезпечити ці прості числа.

Так, є така теорема, більш-менш. В основному зазначено, що k-мірна процедура Вайсфейлера-Лемана включає (тобто домінує) всі відомі комбінаторні підходи до тестування графіка на ізоморфізм. (Ваша конкретна пропозиція повинна бути включена в 2-мірну процедуру Вайсфейлера-Лемана, якщо я не помиляюся.) Для кожного фіксованого k існує клас контрприкладів k-мірної процедури Вайсфелер-Леман, відомий як Кай-Фюрер -Коммерське будівництво.

Я вперше засвоїв основи процедури Вайсфелер-Леман і конструкції Кай-Фюрера-Іммермана від

http://users.cecs.anu.edu.au/~pascal/docs/thesis_pascal_schweitzer.pdf

Про процедуру Weisfeiler-Lehman можна дізнатися набагато більше, ніж описано там, але принаймні лікування конструкції Cai-Fürer-Immmerman є повною та достатньою для ваших цілей. " Процедура Вайсфейлера-Лемана " Вікрамана Арвінда - це недавній короткий нарис, який покликаний запросити цю тему.

Можливо, найважливішим моментом, який слід відвернути від моєї відповіді, є те, що якщо ви знайдете суто комбінаторний метод тестування ізоморфізму (як описаний у вашому запитанні), який не підлягає (тобто домінує) в k-мірній процедурі Вайсфелер-Леман, то це був би сам прорив, незалежно від того, чи буде метод справді корисний.