Функція, яка поширює вхід

Мені хотілося б знати, чи існує функція $f$ від n-бітних чисел до n-розрядних чисел, яка має такі характеристики:

• $f$ має бути біективним
• І $f$ і $f^{-1}$ повинні бути обчислені досить швидко
• $f$ повинен повернути число, яке не має суттєвої кореляції з його введенням.

Обґрунтування таке:

Я хочу написати програму, яка працює на даних. Деяка інформація даних зберігається у двійковому дереві пошуку, де ключ пошуку є символом алфавіту. З часом я додаю ще символи до алфавіту. Нові символи просто отримують наступний вільний номер. Отже, дерево завжди матиме невеликий ухил до менших клавіш, що спричиняє більше балансування, ніж я вважаю, що потрібно.

Моя ідея полягає в тому, щоб перемацати числа символів $f$ таким чином, щоб вони були широко розповсюджені у всьому діапазоні $[0,2^{64}-1]$ . Оскільки номери символів мають значення лише під час введення та виведення, що відбувається лише один раз, застосування такої функції не повинно бути занадто дорогим.

Я думав про одну ітерацію генератора випадкових чисел Xorshift, але насправді не знаю способу його скасувати, хоча теоретично це повинно бути можливим.

Хтось знає таку функцію?
Це гарна ідея?

Ви можете використовувати хешування Фібоначчі , а саме

.$\qquad h_F(k) = k \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - \left\lfloor k \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right\rfloor$

Для ви отримуєте n парних чисел (приблизно), рівномірно розподілених у [ 0 , 1 ] . Шляхом масштабування до$k=1,\dots,n$$n$$[0,1]$ і округлюючи (вниз), ви отримуєте приблизно рівномірно розподілені числа в цьому інтервалі.$[1..M]$

Наприклад, це масштабований до $h_F(1), \dots, h_F(200)$ (ліва вихідна послідовність, право відсортовано):$[0..10000]$

Це приклад того, що Кнут називає мультиплікативним хешированием . Для розмір слова комп'ютера, А деяке ціле число , взаємно просте з ш і$w$$A$$w$ кількість адреснеобхідних, ми використовуємо$M$

$\qquad h(k) = \left\lfloor M \left( \bigl( k \cdot \frac{A}{w}\bigr) \mod 1 \right) \right\rfloor$

як функція хешування. Сказане випливає з (переконайтеся, що ви можете обчислити його з достатньою точністю). Хоча це також працює з будь-яким іншим ірраціональним числом, крім$A/w = \phi^{-1} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ , це одне з лише двох чисел, що призводять до "найбільш рівномірно розподілених" чисел.$\phi^{-1}$

Докладніше в «Мистецтві комп’ютерного програмування» , Том 3 Дональда Кнута (глава 6.4 зі сторінки 513 у другому виданні). Зокрема, ви дізнаєтеся, чому отримані числа попарно відрізняються (принаймні, якщо ) і як обчислити зворотну функцію, якщо ви використовуєте натуральні A і w замість ϕ - 1 .$n \ll M$$A$$w$$\phi^{-1}$

Для бітових входів ця функція працює:$k$

$\mathrm{hash}(n) = (n \bmod 2^{\lceil\frac{k}{2}\rceil})\cdot 2^{\lceil\frac{k}{2}\rceil} + n \,\mathrm{div}\, 2^{\lceil\frac{k}{2}\rceil}$

$\mathrm{hash}(\mathrm{hash}(n)) = n$$\{n,m\}, n < m$$\mathrm{hash}(m) < \mathrm{hash}(n)$$\{1,\dots,2^{\lceil\frac{k}{2}\rceil}-1\}$

Посилання: Оборотна хеш-функція