Математичні гіпотези, еквівалентні зупинці машини Тьюрінга

11

Це питання стосується того, чи можна зводити кожну математичну теорему до питання, чи зупиняється одна машина Тьюрінга. Зокрема, мене цікавлять думки, які наразі є недоведеними.

Наприклад: говорить Вікіпедія що наразі невідомо, чи є непарні ідеальні числа. Оскільки вирішити, чи дане число є ідеальним, можна написати машину Тьюрінга, яка перевіряє кожне непарне число по черзі і зупиняється, якщо знаходить одне, що є ідеальним. (Ця машина Тьюрінга не приймає жодних вкладів.) Якби ми знали, чи зупиняється ця машина Тьюрінга, ми б знали, чи справжня думка, і навпаки.

Однак, як інший приклад, як щодо гіпотези про близнюків-близнюків ? Вирішується, чи задане число є першим простим числом у парі близнюків, але в цьому випадку ми не можемо просто зупинитися, коли знайдемо перше, оскільки питання полягає в тому, чи існує нескінченне число. Мені незрозуміло, чи можна зробити машину Тюрінга, яка зупиняється, якщо і лише тоді, якщо гіпотеза про подвійних праймерів справжня.

Ми, безумовно, можемо зробити машину Тюрінга, яка зупиняє тоді і лише тоді, коли гіпотеза про подвійні прайси є доказовою в арифметиці Пеано чи в якійсь іншій формальній системі, але це вже інше питання, оскільки це може бути правдою, але не доказуваним у конкретній системі, яку ми обираємо.

Тож мої запитання є

Чи можна зробити машину Тюрінга, яка зупиняється, якщо і лише тоді, якщо гіпотеза про подвійних праймерів справжня? (А якщо так, то як?)
Чи взагалі можливо зробити машину Тюрінга, яка зупиняється тоді і лише тоді, коли якесь задане математичне твердження відповідає дійсності? Чи може ця машина Тьюрінга будуватися алгоритмічно з формального твердження?
Якщо це взагалі неможливо, чи існує якийсь спосіб класифікувати математичні висловлювання на те, чи вони еквівалентні зупинці однієї машини Тьюрінга, або машині Тьюрінга з оракулом тощо? Якщо так, чи вирішується ця класифікація для даного виразу?

formal-languages computability mathematical-foundations

— Натаніел
джерело

Що означає "справжній"? За якими моделями ми оцінюємо цю правду стосовно? Вам доведеться це визначити першим, я думаю.

— Джейк

Я думаю, що всі такі машини Тьюрінга можуть лише перевірити доцільність. Навіть якщо ви явно не повторюєте правдиві твердження в PE, ви все одно шукаєте доказ в іншій формі. Різниця полягає в тому, що існування непарного досконалого числа, очевидно, не може бути істинним, і недоказаним, тоді як близнюки можуть бути простими.

— Karolis Juodelė

Будь-яка думка про незлічувані множини не може бути виражена за допомогою машин Тьюрінга.

— Рафаель

12

На ваше запитання відповідає арифметична ієрархія . Існування непарного досконалого числа є заяву, і тому ви можете перевірити його з допомогою машину, яка зупиняється тоді і тільки тоді твердження вірне. Гіпотеза про подвійний простір - це твердження , і тому ви можете побудувати TM з доступом до оракула, що зупиняється, що зупиняє, якщо твердження є помилковим. $\Sigma_1$ $\Sigma_1$ $\Pi_2$

У строгому логічному сенсі ви завжди можете зробити машину Тьюрінга, яка зупиняє iff заяву утримує: $\phi$

Якщо утримується, то візьміть машину, яка зупиниться. $\phi$
Якщо не тримається, то візьміть машину, яка не зупиняється. $\phi$

Щоб побачити, що ця конструкція є дійсною, врахуйте логічну форму вашого твердження:

Ви можете усунути цю плутанину, задавши трохи інші запитання:

\forall ϕ \exists Т . ϕ \Leftrightarrow Т зупинки .

$\forall \phi \exists T . \phi \Leftrightarrow T\text{ halts}.$

Що таке набір висловлювань таких, що існує машина Тьюрінга, яка зупиняється на iff є дійсною? $\Phi$ $\phi \in \Phi$ $\phi$

Вище я зазначив, що твердження утворюють такий набір. $\Sigma_1$

— Юваль Фільм
джерело

Дякую, я думаю, що арифметична ієрархія - це саме те, про що я просив. Я думаю, те, що я насправді мав намір запитати, "чи існує загальна обчислювальна функція від (деякої підмножини) математичних висловлювань до машин Тьюрінга, які не беруть ніякого вводу, таким чином, що машина, відповідна даному оператору, зупиняє, якщо твердження є правдивим?" Але звичайно це еквівалентно запропонованій вами версії.

— Натаніел

0

$f(1)=2$ $f(2)=4$ $f(n+1)=f(n)!$ $n \geq 2$ $n$ $\Theta_n$

S \subseteq {х_{i}! = х_{к} : i, к \in {1, \dots, н}} \cup {х_{i} \cdot х_{j} = х_{к} : i, j, к \in {1, \dots, н}}

$S \subseteq \{x_i! = x_k: i,k \in \{1,\ldots,n\}\} \cup \{x_i \cdot x_j=x_k: i,j,k \in \{1,\ldots,n\}\}$

$x_1,\ldots,x_n$ $1$ $(x_1,\ldots,x_n)$ $\min(x_1,\ldots,x_n) \leq f(n)$ $\Theta_1,\ldots,\Theta_{16}$

$\Theta_{16}$ $f(16)+3$ $W \subseteq \mathbb{N}$ $W$ $W$ $W$

$\Theta_{16}$ $0'$

— Аполоніус Тишка
джерело