Чи упакувати сумку подарунків Руперту легше, ніж Санта?

^{Або: чи потрібен нам Руперт, щоб взагалі отримати подарунки?}

Проблеми з маршрутизацією в сторону Санта стикається з такою проблемою (багато, багато разів):

Враховуючи мішок місткістю і набір подарунків , кожен розміром , він хоче зробити дітей щасливими. З усіх списків він знає, що дочірні значення присутні саме . $C$ $\{p_1, \dots, p_n\}$ $s_i$ $\{c_1, \dots, c_k\}$ $c_j$ $p_i$ $v_{i,j} \in \mathbb{Q}_{\geq 0}$

Які (попарно роз'єднані) набори подарунків вибрати для кожної дитини, щоб все підходило, тобто $I_j \subseteq [1..n]$

$\qquad\displaystyle \sum_{j \in [1..k]} \sum_{i \in I_j} s_i \leq C$ ,

і наступає якомога більше щастя², тобто

$\qquad\displaystyle \max! \sum_{j \in [1..k]} \sum_{i \in I_j} v_{i,j}$ ?

Це, очевидно, не простіше, ніж Упаковка для сміття чи Рюкзак, тому бідному Санта, можливо, доведеться витратити довгий час на упаковку мішків3.

Тепер, як ми знаємо, його помічник Руперт не дає так беззастережно. Він має знання про $V_j$ , максимальне значення, яке $c_j$ може отримати дитина, виходячи з поведінки протягом року; тобто він додає додаткового обмеження

$\qquad\displaystyle \forall j \in [1..k].\ \sum_{i \in I_j} v_{i,j} \leq V_j$ .

Це полегшує проблему упаковки мішків? Якщо не завжди, то за яких умов?

Якщо діаметр c himney є обмежуючим фактором, може бути встановлений аналогічний каркас.
Давайте не будемо стосуватися себе справедливості та інших глузуючих ідей.
Отже, лише одне Різдво на рік. QED

— Рафаель
джерело

Усі, хто хоче подарувати іншим користувачам, додайте ще раз, коли це можливо! Правильні та зрозумілі відповіді, які також найбільше сподіваються на духи свят, будуть придатними!

— Рафаель

Мої старіші різдвяні запитання щодо маршрутів Санта-Клауса та плитки з печивом теж принаймні частково відкриті!

— Рафаель

Ба! ... Хамбу!

— Рік Декер

Кілька коментарів: проблема не завжди може бути простішою (просто виберіть ), але є принаймні один випадок, у якому вона є (встановіть усі крім , для якого встановлено значення ).

V_{j} \geq \sum_{i \in I_{j}} v_{i, j}

$V_j \ge \sum_{i\in I_j} v_{i,j}$

V_{j} = 0

$V_j=0$

V_{1}

$V_1$

min_{i} v_{i, 1}

$\min_i v_{i,1}$

— Манліо

Після швидкого розгляду цього питання, я вважаю, що додаткові знання Руперта про поведінку кожної дитини (поведінка, максимальна цінність) не завжди полегшать роботу Санта. Санта все одно повинен буде виконати рюкзак 0/1, щоб заповнити мішки та угорський алгоритм, а також максимізувати щастя, яке отримує кожна дитина-капіталіст на Різдво вранці. Простий випадок, коли це зробить роботу Санти досить простою, якби кожна дитина, яку Санта розглядав, не опублікував папір і замість цього у відеоігри весь рік отримував нуль від Руперта (кожна дитина отримала вугілля).

— Логан Леланд
джерело